受験数学わんこらスクール
京大理学部で数学をやったわんこらが中学生や高校生、受験生に数学の公式や問題を解説します。

行列の問題、大阪大学2008年度理系第一問の解説
もうコーヒーにも裏切られた し、誰をオレは信じたらええねん。

こんなネガティブな気持ちで申し訳ないけど今回は大阪大学2008年度の理系第一問、行列の問題の解説します。
大阪大学の2008年度の問題も解説していきたいと思います。
阪大志望者も結構いるのに、2009年度しか解説してなかったからな。

[問題]
090924_m1.jpg

2次の正方行列A_0,A_1,A_2,A_3,…をA_0=O,A_n=B+A_(n-1)C(n=1,2,3,…)
で定める。ただし、Oは2次の零行列、BとCは2次の正方行列とする。

(1)A_n(E-C)をBとCを用いて表せ。
ここでEは2次の単位行列とする。
(2)BとCを
B=(0 1 1 0),C=(1 3 -1 1)とするとき、A_3nを求めよ。


[解答と解説]
これは僕たちはあの時何かもが行列やった…と言う問題です。


行列は普通の実数と同じ計算は出来ません。

でも足し算、引き算は自由に出来る、掛け算は交換律は成り立たないけど出来る、割り算は出来ないけど逆行列が存在するものはある、

だから実数で成り立つ関係式や公式なども、行列でも出来る演算なら行列でも成り立ちます。

今日は問題はそんな難しいわけちゃうけど、そこを意識したってください、


例えば

090924_m2.jpg

a,b,c,dを実数として

x,yが実数の時

(ax+by)(cx+dy)=acx^2+(ad+bc)xy+bdy^2

と言うように、情報公式がありますが、

A,Bを行列として一般にはAB=BAは成り立たないから

(aA+bB)(cA+dB)=acA^2+adAB+bcBA+bdB^2
≠acA^2+(ad+bc)AB+bdB^2

ですが,AB=BAが成り立ってる時は、

(aA+bB)(cA+dB)=acA^2+(ad+bc)AB+bdB^2

と言うように、実数と同じ公式が成り立ちます。

AB=BAの時AとBは可換とか言うねんけどな。
そんなん覚えるんは大学入ってからでええけど。

ちょっと今から可換とか言うてたら、もうこいつは経験済みかとか思われるからな。


それでこの問題の場合は、

090924_m3.jpg

xを実数として
(1+x+x^2+…+x^(n-1))(1-x)=1-x^n
と言う恒等式がありますが、覚えていない人はこれを覚えていて欲しい恒等式ですが、

Aを行列として
(E+A+A^2+…+A^(n-1))(E-A)=E-A^n
は成り立ちます。

まあこれでE-Aが逆行列を持つなら
(E+A+A^2+…+A^(n-1))=(E-A^n)(E-A)^(-1)
と言うように等比数列の和に対応した式が出来たりするねんな。

実数での割り算が逆行列をかけることと対応してるねん。


問題を解くにはこれだけでもええねんけど、A_n=B+A_(n-1)Cは漸化式として解いてもよくて、これも実数では{a_n}を数列、b.c(c≠1)を実数として
a_n=b+ca_(n-1)
は特性方程式はx=b+cxよりx=b/(1-c)だから
a_n-b/(1-c)=c(a_(n-1)-b/(1-c))
とやって解きましたやん。

行列でもこれと同じように出来ないか考えて割り算は出来ないから
(1-c)a_n-b=c((1-c)a_(n-1)-b)
を考えて
A:行列
A_n=B+A_(n-1)C
の両辺に(E-C)を右からかけて
A_n(E-C)=B(E-C)+A_(n-1)C(E-C)

A_n(E-C)-B=(A_(n-1)(E-C)-B)C
と言うようにやれば
A_n(E-C)-B=(A_0(E-C)-B)C^n
と解けます。

行列だから、右からかけるのか左からかけるのかとか注意しといたってください。


そしたら、あんまぐちゅぐちゅ説明しててたら、あ…もう…ってなるから解答に入っていこか。


(1)
090924_m4.jpg

関係式を繰り返し使っていくと
A_n=B+A_(n-1)C
=B+(B+A_(n-2)C)C
=B+BC+(B+A_(n-3)C)C^2

=B+BC+BC^2+…+BC^(n-1)+A_0C^n
=B(E+C+C^2+…+C^(n-1))

だから
(E+C+C^2+…+C^(n-1))(E-C)=E-C^n
だったから
A_n(E-C)=B(E+C+C^2+…+C^(n-1))(E-C)
=B(E-C^n)

と求まります。


それか漸化式と見て解くと

A_n=B+A_(n-1)Cより右から(E-C)をかけて
A_n(E-C)=(B*A_(n-1)C)(E-C)

A_n(E-C)-B={A_(n-1)(E-C)-B}C

A_n(E-C)-B={A_0(E-C)-B}C^n
=-BC^n

A_n(E-C)=B(E-C^n)

まあ、こんな感じや。

次いきましょか。


(2)
090924_m5.jpg

A_nを求めろじゃなくてA_3nを求めろって言うところが可愛いらしいやないか。

こういう行列は大切に扱ってあげなあかん。

だから(1)から
A_n(E-C)=B(E-C^n)
やったからC^3が何か簡単な行列になってC^3nは簡単に求まるんちゃうかって言うのを察してあげてこそ男って言うもんやねん。


実際C^3=-8EやからC^3n=(-8E)^n=(-8)^nE

だから
A_3n(E-C)=B(E-(-8)^nE)

後は数字を入れていって、E-Cは逆行列と持つから(E-C)^(-1)を右からかけてA_3nを求めたってください。

大阪大学の入試の数学の過去問の解説




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