受験数学わんこらスクール
京大理学部で数学をやったわんこらが中学生や高校生、受験生に数学の公式や問題を解説します。

平面図形の問題、大阪大学2008年度理系第二問文系第一問の共通問題の解説
最近栄養不足になって寝込んで初めて、チャート式じゃないのを買わされた奴の気持ちがわかった。


大阪大学2008年度理系第二問の解説です。

[問題]
090924_m6.jpg

点Oで交わる2つの半直線OX,OYがあって∠XOY=60°とする。2点A,BがOX上にO,A,Bの順に、また、2点C,DがOU上にO,C,Dの順に並んでいるとして、線分ACの中点をM,線分BDの中天をNとする。線分ABの長さをs,線分CDの長さをtとするとき、以下の問いに答えよ。

(1)線分MNの長さをsとtを用いて表せ

(2)点A,BとC,Dがs^2+t^2=1を満たしながら動くとき、線分MNの長さの最大値を求めよ。


[解答と解説]
数学の問題はまず考える前に図を描いてみる。

これがもう一番大切なことくらいやねんけどベクトルの問題の場合、図を考えると

090924_m7.jpg

かえって、こういう世界に足を踏み込んでしまいます。

ベクトルは図よりも式だけを見て定石にしたがって計算した方がやりやすいことが多いです。

それはベクトル自体が代数的に定義されいて図形的なものが計算で扱えるってことがメリットがあったわけやからな。
ただもっと難しい問題とかでは図を描いて図で考えるのが大切になってきたりするので忘れないでください。


(1)
090924_m8.jpg

早速やっていきますが


Mは線分ACの中点より

OM→=(OA→+OC→)/2
ON→=(OB→+OD→)/2

ってあほみたいに白目むきながら計算して|MN→|を求めるから始点をOに揃えて

MN→=ON→-OM→
=(OA→-OB→+OC→-OD→)/2
=(BA→+DC→)/2

で|MN→|求めようとしたら、内積がいるから∠XOY=60°より

BA→・DC→=|BA→||DC→|cos60°
=st/2

よって

|MN→|=1/2・√(BA→+DC→)^2
=1/2・√(|BA→|^2+2BA→・DC→+|DC→|^2)
=1/2・√(s^2+st+t^2)

となんも考えずにあほみたいに白目むいて計算した方がうまくいきます。

(2)
090924_m9.jpg

s^2+t^2=1と言う関係式があるとき,s,tの式になってるMNの長さ
1/2・√(s^2+st+t^2)
の最大値を求める時は、s=cosΘ,t=sinΘって置くと簡単に求まりやすいことが多いです。

ただしs>0,t>0だから0<Θ<90°です。

|MN→|=1/2・√(s^2+st+t^2)
=1/2・√((cosΘ)^2+cosΘsinΘ+(sinΘ)^2)
=1/2・√(1+(sin2Θ)/2)

0<2Θ<180°より最大値はΘ=45°の時、1/2・√(1+1/2)=(√6)/4

をとります。


これはチャート式などでベクトルの例題などしっかり覚えてマスターしていれば、ええ得点源になる類の問題やと思います。

大阪大学の入試の数学の過去問の解説




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