受験数学わんこらスクール
京大理学部で数学をやったわんこらが中学生や高校生、受験生に数学の公式や問題を解説します。

微分と数列の問題、大阪大学2008年度理系の第三問の解説
なんか汗臭いおっさんとすれ違った時のテンションやわ。
もうやる気なくした。

今日は適当や。

大阪大学2008年度の理系の第三問の解説。


[問題]
090926_m1.jpg

Nを2以上の自然数とする。
(1)関数f(x)=(N-x)logxを1≦x≦Nの範囲で考える。このとき、曲線y=f(x)は上に凸であり、関数f(x)は極大値を1つだけとる。このことを示せ。

(2)自然数の列a_1,a_2,…,a_Nを
a_n=n^(N-n)(n=1,2,3,…,N)
で定める。a_1,a_2,…,a_Nのうちで最大の値をMとし、M=a_nとなるnの個数をkとする。このときk≦2であることを示せ。

(3) (2)でk=2となるのは、Nが2のときだけであることを示せ。


[解答と解説]
090926_m3.jpg

凸であることを調べろってことは二階微分せなあかんってことやな。

まあとりあえずは2階微分してみよ、

f'(x)=-logx+(N-x)/x
f''(x)=1/x-1/x^2

で1≦x≦Nやからf''(x)<0で上に凸ってことがわかります。

それと、f''(x)はf'(x)の微分であるってことも忘れたらあかんかって、f''(x)<0ってことはf'(x)は単調減少なわけやな。

より正確に言うにはg(x)を関数としてg(x)が単調減少であるとは
a<bの時g(a)>g(b)

a>bの時g(a)≧g(b)
の二つが本によってバラバラに定義されていますが、今回はf''(x)<0だから
a<bの時g(a)>g(b)
の方になるので、イコールがつかないことを明確に区別して扱いたい時には

狭義単調減少

と言う言葉を使ってみてください。


まあ、本当はちゃんと区別せなあかんのに適当な模範解答も見られるからそこまで要求されることあんまり無いんやろうけどな。


それでf(x)が極大値をただ一つ持つってことはf'(x)が定義でf'(x)=0となるxがただ一つあって狭義単調減少なわけやから定義域の端点のx=1で正で、x=Nで負であることが言えるんちゃうかって予想がたつわけやねんな。

実際f'(1)=N-1>0,f'(N)=-logN<0

でf'(α)=0(1<α<N)となるαがただ一つ存在することになります。


ここで単調減少って言葉が
a>bの時g(a)≧g(b)
を意味してしまったら、これを示しただけでは例えば
f'(x)=
(x-3)^2(1≦x<3)
0(3≦x<4)
-(x-4)^2(4≦x<N)
と言うような関数ならば、今書いた意味の単調減少でf'(x)=0となるxが無限にある(非可算無限とか言う)ことになるから困るねんな。


まあなんか頭わけわからんことなったら、気にしないでください。

高校ではこの辺あまり気にしなくてもたぶん大丈夫やし、何よりも増減表を書いたらはっきりこの辺のことが示されるので増減表を書いておけば大丈夫です。

言葉をだらだら書くより増減表やな。


(2)
090926_m2.jpg

これはなんか問題文にややこしいことを書いてて、難しそうやねんけどとりあえず(1)で書いた増減表とかを元にしてグラフを書いてみてください。
数学は考える前にまずは図やからな。


なんでy=(N-x)logxのグラフなんか言うたらloga_n=(N-x)logn=f(n)やから、f(n)=logMとなる個数を調べたらええわけやねんな。

まあそれはさすがにピンと来るかもしれんな。

それでy=(N-x)logxのグラフを書いてみたら、そもそもy=一定の直線をどこの引いても共有点は2個以下やろ。

だからMがどんな値であろうとy=(N-x)logxとy=logMの共有点は2個以下やし、さらに整数の点になるものだけ考えても2個以下なわけや。

だからk≦2やねん。

これMが最大値とか書いてるけど関係ないねんな。


解析的な問題ではこういう、そもそも実数でも成り立たないことを示したり、そもそもMはどんな値でも成り立たないとか言うような論理をよく使うからこの示しかた覚えとってください。


(3)
090926_m4.jpg

a_1=1,a_N=1やからk=2となる時はN=2となる時ってことはa_1=1,a_2=1で最大値1ってことやろな。

f(x)はx=αで最大やったからその隣にあるxが整数になる点がf(n)が最大になる点でa_nも最大になるわけやけど、x=αの両隣の二つのxが整数になる点の値が同じやったらええわけや。

だからiをi≦α<i+1となる自然数として
f(i)=f(i+1)
やったらええねん。

f(i)=f(i+1)⇔a_i=a_(i+1)
⇔i^(N-i)=(i+1)^(N-i-1)

凄い解析的な考え方が続いてたけど、こっからは整数問題になってiとi+1は連続2整数やからどっちかが奇数でどっちが偶数なわけやん。

だからこの式が成り立つには、偶数と奇数が等しいわけがないから偶数の方の指数を0にして1にしたら奇数にやん。
それで奇数の方を1にしたらええねん。

つまりiが偶数の時はi+1が奇数で
N-i=0かつ1=i+1

i=N=0
これはiが0なのもおかしいしN≧2やったから不適やな。


iが奇数の時はi+1が偶数で
N-i-1=0かつi=1

i=1、N=2
これはオッケーでN=2って決まります。


この問題は数列の問題を解くのに、まず実数の範囲で考えて、それから整数の点を考えると言う流れの問題で色々とよく使う考え方が入っているし、実数の範囲で考える誘導がついてますがもっと難しい問題では自分で関数を設定しなければならないこともあるので、この解き方とか流れを覚えておいてください。

大阪大学の入試の数学の過去問の解説

整数問題の解法の解説と問題演習




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