受験数学わんこらスクール
京大理学部で数学をやったわんこらが中学生や高校生、受験生に数学の公式や問題を解説します。

回転体の体積の問題、大阪大学2008年度理系第四問の解説
ちょっと北海道の無人島に静養いしに行ってくるわ。

大阪大学2008年度理系の第四問の解説します。

[問題]
090928_m1.jpg

tを負の実数とし、xy平面上で曲線y=2^(2x+2t)と曲線y=2^(x+3t)およびy軸で囲まれる部分をDとする。
(1)Dをx軸のまわりに1回転させてできる回転体の体積V(t)を求めよ、
(2)tが負の実数の範囲を動くとき、V(t)の最大値を求めよ。


[解答と解説]
特になんとも無いごく普通の数学3Cの問題です。
ただ一つ言うなら、回転体の体積の求めかたと2^xの積分が出来るかってことぐらいです。

二つ言うてるけどな。


どんな難関大学でさえ、普通の数学3Cの問題が出されることがよくあるから絶対に数学3Cはマスターしておいてください。
やり方さえちゃんと覚えれば、数学1Aや2Bと違って簡単に解けるし非常にコストパフォーマンスは高いです。

それでも入試本番で数学3Cやってへんわ、うへ~って白目むいてあほみたいな顔してるやつがおるわけやねんな。


まあ大学からしても数学3Cがままならんようじゃ困るわけやねん。

(1)
090928_m2.jpg

まずはグラフを書かなあかんねんけど回転体の体積を求めるだけやから、微分して詳しく書く必要はなくて大小関係や交点などがわかれば十分です。

そうやな、差を計算するとわかりやすいかな。

2^(2x+2t)-2^(x+3t)=2^(x+2t)(2^x-2^t)

でこの正負で大小関係はかわるねんけど、2^(x+2t)の部分は正やから2^x-2^tだけ考えたらよくて

x<tの時、2^(2x+2t)<2^(x+3t)
x=tの時、2^(2x+2t)=2^(x+3t)
x>tの時、2^(2x+2t)>2^(x+3t)

それでグラフを書いて、Dを図示しときます。

図からDをx軸でまわりの回転体は、Dの上側の境界のグラフy=2^(2x+2t)による回転体から下側のy=2^(x+3t)による回転体を引いたらよくて


V(t)=π∫(t,0)(2^(2x+2t))^2dx-π∫(t,0)(2^(x+3t))^2dx
=π∫(t,0)(2^(4x+4t)-2^(2x+6t))dx


後は2^xの積分やな。
e^xしか積分せえへんから、忘れやすいけど

∫2^xdx=2^x/log2+C(Cは∫定数)

まあe^xの積分はe^xがわかってれば

∫2^xdx=∫e^(xlog2)x
=e^(xlog2)/log2+C
=2^x/log2+C

って言うように導けるねんけど。

それで計算していって
V(t)=π[e^(4x+4t)/4log2-2^(2x+6t)/2log2](t,0)
=π/4log2・(2^8t-2・2^6t+2^4t)
=π/4log2・2^4t(2^2t-1)^2


(2)
090928_m3.jpg

単純にxで微分して増減を調べても全然問題ないねんけど、一応X二次関数で出来て
X=2^tとおくとt<0から0<X<1で

V(t)=π/4log2・X^2(X-1)^2
=π/4log2・(X(1-X))^2

0<X<1だからX(1-X)>0で

X(1-X)=-(X-1/2)^2+1/4

より0<X(1-X)≦1/4⇔0<{X(1-x)}^2≦1/16だから{X(1-X)}^2はX=1/2つまりt=-1/2の時、最大値16をとるから、V(t)はこの時最大で最大値はπ/64log2になります。

大阪大学の入試の数学の過去問の解説




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