受験数学わんこらスクール
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確率の問題、大阪大学2008年度理系の第五問の解説
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大阪大学2008年度理系第5問の解説

[問題]
1枚の硬貨を繰り返し投げる反復思考を行い、表が500回続けて出たときに終わるものとする。nを500以上の自然数とするとき、この反復思考がn回目で終わる確率をp(n)とする。

(1)501≦n≦1000のとき、p(n)はnに関係なく一定の値になることを示し、またその値を求めよ。

(2)p(1002)-p(1001)の値を求めよ。

(3)1002≦n≦1500のとき,p(n+1)-p(n)の値を求めよ。


[解答と解説]
(1)
090929_m1.jpg

p(n)はnに関係なく一定の値になることを示し、またその値を求めよ…

これを読むと

一定の値になることを示す→その値を求める

ってことを示さなあかんようやけど、こういうのはたいがい

値が求まったら一定の値やった

って論理をすり替えて答えます。


だから501≦n≦1000のときp(n)の値を求めたらええねんけど、500回表が続いたら終わるってことやから、n回目で終わるのはどんな目の出方をしたのか考える時、後ろの方から考えなあかんわけやな。

こうやって表か裏か決まっていくのは1回目からやけど、確率や場合の数を求める時はその順番じゃなくて条件の厳しい回の方から計算したり数え上げるのがコツやねん。
まあ何回もやってることかもしれんけど。

それで○を表、×を裏とすると後ろの方は
×○○○…○
って×の後に○が500個続くねん。

終わるのは必ず最後はこういう並びになってるわけや。

この確率は(1/2)^501


そしたら、最初のn-501回はどうなってるか考えると、501≦n≦1000やから0≦n-501≦499で500回目が裏なわけやから○と×どんな並びでもええわけやねんな。
だから表または裏を△とすると
△△…△×○○…○
って形で△はn-501回、○は500回続いてて、確率は△は1だから
p(n)=1^(n-501)・(1/2)^(501)
=(1/2)^501

でp(n)の値はnに関係なく一定の値(1/2)^501って求まりました。


(2)
p(1002)-p(1001)を求めろってことやけど、まず後ろから501回は
×○○○…○
ってならないとあかんかって、この部分の確率は(1/2)^501でした。

この前の500個はどうなってるか考えると終わったらあかんねんな。

そう終わったらあかん。

ここで終わったらあかんねん。

「ここで終わったらあかんのですわ」って言うキーワードが来たら

090929_m3.jpg

余事象やったわけやな。

そんな癖のあるキーワードじゃなかったような。

しかもこの図はどういう意味やねん。


~でない確率とか言うキーワードがきたら余事象を考えて欲しいねんな。

ただそもそも、余事象を考えることは非常に有効な場合が多いので余事象を考えてみるは優先度の高い選択肢として扱ってあげてください。

090929_m2.jpg

と言うことでn=1001では

[500回で終わらない並び]×○○…○

やから500回で終わる確率は全部○の(1/2)^500やから

p(1001)=(1-(1/2)^500)(1/2)^501

次にn=1002では後ろの501回は

×○○…○

と言う並びで最初の501回は終わったらあかんわけやから、500回で終わらない、かつ、501で終わらない並びやから、その部分の確率は1-(1/2)^500-(1/2)^501だから求める確率は

p(1002)=(1-(1/2)^500-(1/2)^501)(1/2)^501

よって
p(1002)-p(1001)=-(1/2)^1002

(3)
090929_m4.jpg

数学は前の問題が誘導になってて、それを強く意識してやらなあかんことが多いねんけど、まあ時には意識しない方が解ける場合もあります。
この場合も、本来は(2)で具体的な数字でやってみて、それを参考に(3)で一般的なnでやってみようと言う意図やねんけど、もしかするとこれは(2)は無い方が最初から一般的に考えるから解きやすいんかもしれません。


最後の501回の並びは
×○○…○
で最初のn-501回は終わらなければいいから

[k回で終わらない並び(k=1,2,…,n-501)]×○○…○

って言う並びで確率は

p(n)=(1-p(500)-p(501)-…-p(n-501))(1/2)^501

また

p(n+1)=(1-p(500)-p(501)-…-p(n-501)-p(n-500))(1/2)^501

だから

p(n+1)-p(n)=-p(n-500)(1/2)^501

p(n-500)の値は、1002≦n≦1500から502≦n-500≦1000だから(1)より

p(n-500)=(1/2)^501

って決まってて

p(n+1)-p(n)=-(1/2)^1002

って求まりました。

大阪大学の入試の数学の過去問の解説




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