受験数学わんこらスクール
京大理学部で数学をやったわんこらが中学生や高校生、受験生に数学の公式や問題を解説します。

(東大理系)座標平面の点(x,y)を(3x+y,-2x)へ移す移動fを考え、点Pが移る行き先をf(P)と表す。
京大の問題が続いてきてしばかれたので、今年2008年の東大理系の第一問を今日はやりたいと思います。



[問題]
080610_4.jpg

座標平面の点(x,y)を(3x+y,-2x)へ移す移動fを考え、点Pが移る行き先をf(P)と表す。
fを用いて直線l0,l1,l2,…を以下のように定める。

・l0は直線3x+2y=1である。
・点Pはln上を動くとき、f(P)が描く直線をln+1とする(n=0,1,2,…)。

以下lnを1次式を用いてanx+bny=1と表す。

(1)an+1,bn+1をan,bnで表せ。

(2)不等式anx+bny>1で定める領域をDnとする。D0,D1,D2,…すべてに含まれるような点の範囲を図示せよ。




[解答・解説]
さすがに(1)を落とすと次の日新聞見てるときに血吐いて死ぬと思います。
080610_5.jpg

一次変換とか逆行列とか大げさなこと書いてますが、そんなことして間違えたらアホらしいので中学生のごとき単に連立方程式を解けばオッケーです。
Pの座標を(x,y)、f(P)の座標を(X,Y)とすると
X=3x+y
Y=-2x
でこれをx,yについて解いて
x=-1/2Y
y=X+3/2Y
として点Pがln上の時、lnの式に代入すると
bnxX+(3/2bn-1/2an)Y=1
でこれがln+1の式だから
an+1=bn
bn+1=3/2bn-1/2an
となります。


そういえば関数y=f(x)をx方向にa、y方向にb平行移動したとすると
y-b=f(x-a)
ってなんかマイナスになることがごっちゃになりますが
これも元は
x+3=X,y+b=Y
と置いて
x=X-a
y=Y-b
で代入して
Y-b=f(X-a)
となりますね。
これと同じやり方です。


(2)
まあ、まずは漸化式をとりあえず解いてみると誰もが思います。

しかし、漸化式を解きます。
080610_6.jpg


解き方はもっと上手い方法がたぶんあると思いますが、とりあえずそんなこと考えるより思いついた方法を計算してしまった方が早いと思います。

僕は単純にanだけの式にしたら、2項間漸化式になってそれを解きました。

これでDnが求まります。
{1+2(1/2)^n}x+{1+(1/2)^n}y>1
これは、(x,y)=(0,0)を代入したら成り立たないので、直線lnによって分割された領域の原点を含まない方ですね。
lnはどういう直線か考えて見ると
x切片:x=1/(1+2(1/2)^n)
y切片:y=1/(1+(1/2)^n)
です。
これはnを増やすと増加していきます。
直線は右上の方に向かって移動します。
と言うことは、nを増やせば領域が狭くなっていっていくからn→∞での領域が求める答えではないかと考えると
x+y≧1です。
080610_7.jpg

これをやると間違いと言われます。
こんな異常な目付きで間違い言われたら、もう殺されそうです。


何が間違ってるか言うと、それは部分的に見ていて全体を見落としています。

実験してみると実は高いほうが死亡率が低かったコレステロールみたいなもんです、


つまりある一点に注目して導き出される答えは、他の要素が入っていなくて間違えることが多いわけです。
ところが実験した結果は、実験結果なのでそのまま正しいわけです。



だからn=0,1,2の三つを具体的に調べて実験してみましょう。
080610_1.jpg

図を描いてみると、どうも定点を通るっぽいことがわかります。
この定点を通って傾きが変化して回転してるのではないかと考えられます。


そもそもよく考え見ると
ln:{1+2(1/2)^n}x+{1+(1/2)^n}y=1
みたいにパラメーターが入ってた場合は定点を通るかもしれないから考えてみるのが定石でした。

実験してみると、そうやって見えてきます。
080610_2.jpg

(1/2)^nを丸ごとkと言うパラメーターみたいに考えてやります。
定点を(-1,2)通ることがわかります。
傾きはnに関する単調増加で極限は1です。

080610_3.jpg

後は(-1,2)を中心として直線を
l0:3x+2y=1からl∞:x+y=1まで回転させます。
Dn(n=0,1,2,3…)は極限は含まないので、そこだけ境界は含みます。


高校数学の問題と解説

東京大学の入試の数学の過去問の解説




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