受験数学わんこらスクール
京大理学部で数学をやったわんこらが中学生や高校生、受験生に数学の公式や問題を解説します。

絶対値のグラフの問題、大阪大学2008年度文系第三問の解説
右の目玉がくりぬけた気分やけどええかな?

大阪大学2008年度文系第三問の解説



[問題]
091002m1.jpg

aを正の定数とし。
f(x)=||x-3a|-a|,
g(x)=-x^2+6ax-5a^2+a
を考える、
(1)方程式f(x)=aの解を求めよ。
(2)y=f(x)のグラフとy=g(x)のグラフで囲まれた部分の面積Sを求めよ。



[解答と解説]
091002m2.jpg

(1)は特にそれほど問題はないと思います。
ただ絶対値をはずす時に、絶対値が二重になってるから2回二乗して外すと4次方程式になって若干ややこしいから、素直に場合分けで外した方が便利もことが多いので意識しといたってください。

だから
f(x)=a

||x-3a|-a|=a

|x-3a|-a=±a

|x-3a|=2a,0

x-3a=±2a,0

x=a,3a,5a

です。


(2)は面積を求めるのには、そらy=f(x)とy=g(x)のグラフを書いて求めるのはお決まりやけどまずは
y=||x-3a|-a|
のグラフの書き方から説明しときましょか。

091002m3.jpg

正当な方法としては、

○単純に場合分けして絶対値を外す

例えばy=|x-b|って関数なら
|x-b|=
x-b(x≧b)
b-x(x≦b)

ほんまに普通の方法やけど、なんやかんやで結局この方法でやるしかなかったりとかで一番大切やねん。

もう一つは

○x軸について折り返す。

さっきのy=|x-b|やったらy=x-bのグラフを書いてx軸より下の部分をx軸について折り返したら出来るやってやつや。

これを使って書けることも多くて、今回の問題もこれで書けます。



それじゃあ、ぐちゅぐちゅなんかやって焦らしててもあれやから始めよか。

091002m4.jpg

まず場合わけしてグラフを書く解答から紹介しますわ。

y=||x-3a|-a|
でまず|x-3a|から絶対を外して、x≧3aとx≦3aで場合わけします。
(i)x≧3aの時
f(x)=|x-3a-a|
=|x-4a|
今度は|x-4a|を外して,x≧4aとx≦4aで場合分けしなあかんけどx≧3aやから
x≧4aと3a≦x≦4aの場合分けになるな。

|x-4a|
=
x-4a(4a≦x)
-x+4a(3a≦x≦4a)

同じようにして
(i)x≦3aの時
f(x)=|-x+3a-a|
=|-x+2a|
今度は|-x+2a|を外して,x≧2aとx≦2aで場合分けしなあかんけどx≦3aやから
2a≦xと2a≦x≦3aの場合分けで

|-x+2a|
=
-x+2a(x≦2a)
x-2a(2a≦x≦3a)

これでグラフを書いたらできあがりですわ。

まあちょっと面倒な感じやな。


それで一つのx軸について折り返す方法はこの場合平行移動も駆使せなあかんかって

091002m5.jpg
091002m6.jpg

y=x-3aを書く

↓x軸で折り返し

y=|x-3a|のグラフになる

↓y軸-a平行移動

y=|x-3a|-aのグラフになる。

↓x軸で折り返し

y=||x-3a|-a|のグラフになる。


解答にこういう図を書いたらオッケーや。
日本語だらだら書くより図な。

それと折り返してるとことかx軸やy軸の交点とか座標を書き込んどけば、問題を解く上で役にたつねん。

この問題の場合については、この書き方はかなり有効なわけやな。
全部直線やし傾きも1か-1でx=3aで対称やし、図形的に考えた方がわかりやすいタイプのグラフやからな。

091002m7.jpg

それとy=g(x)の二次関数のグラフがこのy=f(x)のグラフとどういう風な位置に来るのか考えて書かなあかんねんけど、まずは平方完成してみると

g(x)=-(x-3a)^2+4a^2+a

で頂点は(3a.4a^2+a)でちょうどy=f(x)がx=3aで山の頂点になってるから、そことx座標が同じで
4a^2+a>a
やから二次関数の頂点の方が上になります。

と言うことは、後はy=f(x)の山になってるとこと交わるのか、谷になってるとこと交わるのかが問題になるけど、図形的に
山になってるとこで交わってたら、x=2aでg(x)は負
谷になってるとこで交わってたら、x=2aでg(x)は正
のはずやから

g(2a)=3a^2+a>0

やから、谷になってるとこと交わるねんな。


それでグラフを書くと

091002m8.jpg

こんな感じになってて、y=f(x)とy=g(x)の交点のx座標は

x≦2aにおいて
-x+2a=-x^2+6ax-5a^2+a

(x-a)(x-5a-1)=0
でx≦2aやからx=a

x≧4aのにおいて
x-4a=-x^2+6ax-5a^2+a

(x-5a)(x-a+1)=0
でx≧4aやからx=5a

だから後は斜線部の面積をコツコツ求めて

S=∫(a,2a){(-x^2+6ax-5a^2+a)-(-x+2a)}dx
+∫(2a,3a){(-x^2+6ax-5a^2+a)-(x-2a)}dx
+∫(3a,4a){(-x^2+6ax-5a^2+a)-(-x+4a)}dx
+∫(4a,5a){(-x^2+6ax-5a^2+a)-(x-4a)}dx

=…

ってやってると、三時間後にママがえらいあの子出てこうへんな思って部屋をのぞいてみたら

091002m9.jpg

こんなことになってて、急いで病院につれて行かれることになります。


まあ出来んこともないし、これくらいは計算出来る根性と技術があった方がええとは思うねんけどな。

でもなんか忘れてへん?

そう、(1)のf(x)=aが使われてないねん。

さすがやな、よくわかってるな。

前問が誘導やヒントになってることを、意識しなあかん言うてるのが身についてきてるな。


f(x)=aになるのはx=a,3a,5aやけど、これはy=f(x)とy=g(x)の交点とy=(x)のまんなかの山の頂点の位置でした。

と言うことは直線y=aを考えるともの凄く見通しがよくなってて、y=aとy=g(x)の交点のx座標は3a,5aやから

g(x)-a=-(x-3a)(x-5a)

ってなってるねんな。

さらにこれがわかってれば、y=g(x)の頂点やらy=f(x)の山と谷どっちで交わるかとか考えなくてもよかってん。

091002m10.jpg

y=aを基準に考えれば図から

S=(y=aより上の山の部分)+(y=aの下にある二つの三角形)

で式を立てたらよくて(y=aより上の山の部分)は直線y=aと二次関数y=g(x)に囲まれた部分で交点のx座標もx=a,5aと簡単で∫(α,β)(x-α)(x-β)dx=-(β-α)^3/6の公式が使えて

S=∫(a,5a)(g(x)-a)dx+2×(1/2×2a×a)
=-∫(a,5a)(x-a)(x-5a)dx+2a^2
=(4a)^3/6+2a^2
=32a^2/3+2a^3

だから(1)によってy=aを考えろって言う誘導にちゃんと乗れると、かなり計算は簡単やねんな。

でもそれに気づかなくても根性で計算してください。

少々方法がまずくても、計算してしまった方が結局早いことあるし、その強引さが底力やと思います。

大阪大学の入試の数学の過去問の解説




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