受験数学わんこらスクール
京大理学部で数学をやったわんこらが中学生や高校生、受験生に数学の公式や問題を解説します。

重複組み合わせの説明と使い方
だいぶん、鼻をかんだティッシュを筆箱に溜ってきたところで重複組み合わせについて説明しとこか。


まずはこういう問題があったしよう。

[問題]
りんごとみかんと桃の三種類から7個の果物を買う方法は何通りあるか。
ただし、含まれない果物があってよい。


[解答と解説]
これは普通に考えれば、おばはんどもがうへ~ってベタベタに触りまくって選んでる光景が浮かびますが足して7になる自然数の組み合わせは

(0,0,7),(0,1,6),(0,2,5),(0,3,4),
(1,1,5),(1,2,4),(1,3,3),(2,2,3)
の8つで
(0,0,7),(1,1,5),(1,3,3),(2,2,3)
は順番の見分けをつけると、それぞれ3通りで計4×3=12通り

(0,1,6),(0,2,5),(0,3,4),(1,2,4)
は順番の見分けをつけると3!=6通りだから計4×6=24通り

よって
12+24=36通り

と、何とか求まるには求まるけど数字が大きくなってきたら大変やねんな。


そこで少し考え方をかえて、

○○○○○○○

って7個のボールを並べて、棒を3から1引いた2本用意してこれらの間と端に入れるねん。

例えば

○○○|○○|○

と入れたとすると、一番左の○三個をりんこ三個と考えて、真ん中の○2個をみかん二個と解釈して、右の○一個を桃一個とするねん。


|○○|○○○○○

こうやって端に棒がくると、りんごを0個と考えるねん。

○○○||○○○○

こういう棒が並ぶ場合はみかんが0個な。


だから、りんごとみかんと桃の三種類から7個の果物を買う方法は○は7個と|は3-1=2個であわせると9個やけど9個の場所に○7個の場所を選ぶ方法を考えたらよくて

9C7=36

で求まるねん。


一般的には

091015m1.jpg

異なるn個のものから重複を許してr個とる組み合わせは
棒をn-1個用意してn+r-1個の場所からn個選ぶ方法を考えて
n+r-1Cr
で計算出来るってことやな。

これを
nHr
と書くねん。

nHr=(n+r-1)Cr

まあこのnHrと言う記号や計算の仕方も覚えといたらええに決まってるねんけど、棒をn-1個用意してn+r-1個の場所からr個選ぶ考え方を図と一緒に覚える方が大切かな。

いっつも覚えるって言うのはこういう考え方や図とかを覚えて欲しいってことやねんな。


それで重複組み合わせは次のような問題でもよく使うねん。



[問題]
x,y,zを0以上の整数とする。
x+y+z=n
となる(x,y,z)の解の個数を求めよ。


[解答と解説]
一見、余り場合の数の問題に見えにくいけど、これはさっきのりんごとみかんと桃からn個選ぶ方法とまったく同じやねん。

りんごをx個、みかんをy個、桃をz個とするとx+y+z=nの時、(x,y,z)は何通りあるかってことですやん。


だから3個の異なるものから重複を許してn個選ぶ方法で

3Hn

でオッケーやねん。


さらにこの問題をちょっと応用させて


[問題]
x,y,zを自然数とする。
x+y+z=n
となる(x,y,z)の解の個数を求めよ。
(n≧3)

[解答と解説]
x,y,zは自然数で1以上やから、そのまま公式は使えんわけや。
こういう時は
X=x-1,Y=y-1,Z=z-1とおくと、X,Y,Zは0以上の整数で

x+y+z=n

X+1+Y+1+Z+1=n

X+Y+Z=n-3

で(X,Y,Z)が決まれば(x,y,z)も1通りに決まるから、(X,Y,Z)の個数を求めたらよくて

3H(n-3)

で出来るねんな。


こうやって、文字を置き換えると0以上に出来る技術は整数問題で使ったりするから、これも覚えとったってくれ。
参照→整数問題、ab+1≦abc≦ab+bc+ca+1(c<b<a、a,b,cは自然数)の時のa,b,cは?



最後にこういう問題も重複組み合わせを使えば簡単に計算出来るって言うのを紹介しときますわ。

[問題]
xyz=540
を満たす自然数x,y,zの組は何通りあるか


[解答と解説]
そらまあ素因数分解するんやろな。
540=2^2・3^3・5
で2が2個、3が3個、5が1個でx,y,zにどうやって分配していくかやな。

これも
xyz=210
なら
210=2・3・5・7
で2はx,y,zのどれかに入れる3通り,3も3通り、5も、7も3通りで3^4=81通りと言うように全部違う素数が1個ずつなら簡単に解けるけど、540は2が2個あったり、3が3個あったりで難しいわけやな。

まず2の2個と3の3個を別々のものとして入れてから、区別を無くすとか考えたらそらもう恐ろしい計算やな。

ここで重複組み合わせを使って、2の2個をx,y,zに入れる方法はx,y,zの3個から重複を許して2個選ぶ方法で
3H2=4C2=6通り

3の3個をx,y,zに入れる方法はx,y,zの3個から重複を許して3個選ぶ方法で
3H3=5C3=10通り

5の1個をx,y,zに入れる方法は3通り。

よって

6・10・3=180通り


重複組み合わせみたいに、観点をかえて数えると凄い計算が楽になったりするねんな。
場合の数ではよくあることや。

この問題のように


n個の異なる箱があって、区別のない赤玉をa個、白玉をb個、青玉をc個入れる方法は

赤玉の入れ方はnHa、白玉はnHb,青玉はnHcだから
nHa・nHb・nHc通り

って言うように、重複組み合わせの積で求められる問題もあるからこれもチェックしといたってくれ。

なかなか思いつかんもんやからな。
覚えてると覚えてないで閃き度が違うってことですわ。

高校数学の公式や問題の解説




テーマ:算数・数学の学習 - ジャンル:学校・教育

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