受験数学わんこらスクール
京大理学部で数学をやったわんこらが中学生や高校生、受験生に数学の公式や問題を解説します。

分離公理は図を書くのがコツ
久しぶりに大学の数学についても書こか。


今回は位相空間の分離公理について書こうと思います。


だいたい次の三つくらいがあります。


Xを位相空間とする

091024_m1.jpg

○ハウスドルフ空間

X上の任意の相異なる2点a,b∈Xに対して、二つの開集合U,Vで
a∈U,b∈VかつU∩V=φ
となるものが存在するとき、ハウスドルフ空間と言う、


○正規空間

Xの任意の互いに交わらない閉集合F_1,F_2に対して、開集合U,Vで
F_1⊂U,F_2⊂VかつU∩V=φ
となるものが存在するとき、正規空間と言う


091024_m2.jpg

○正則空間

X上の任意の点aとその点を含まない閉集合Fに対して、二つの開集合U,Vで

x∈U,F⊂VかつU∩V=φ

となるものが存在するとき、正則空間と言う。


ただ正規空間や正則空間とか本によって定義は違うねんけどな。

それにもっとT0空間、T1空間…とか細かい話もあるねんけど今日はその話じゃなくて、図を書いて欲しいってことやねんな。


例えば

(1)Xは正規空間

(2)閉集合Fと開集合Gについて、F⊂Gならば、開集合UでF⊂UかつU ̄⊂Gとなるものが常に存在する。

も普通、本に載ってるような証明は

(1)⇒(2)

閉集合Fと開集合Gについて、F⊂Gであるとすれば、Gの補集合GcとFとは互いに交わらない閉集合である。
Xが正規空間より、互いに交わらない開集合U,VでF⊂UかつGc⊂Vとなるものが存在。
このとき、F⊂U⊂Vc⊂Gであり、Vcは閉集合であるから、U ̄⊂Vc⊂G。
よってF⊂UかつU ̄⊂G。

(2)⇒(1)

A,Bを互いに交わらない閉集合とする。
Bの補集合BcはAを含む開集合だから(2)よりA⊂UかつU ̄⊂Bcとなる開集合Uが存在。
U ̄の補集合をVとすれば、VとUは交わらない開集合でB⊂V。

って感じですわ。


なんかこういう位相の計算はわけわからんって感じやねんけど図で考えて欲しいねん。

091024_m3.jpg

こうやって図で考えたら、位相もわかるわけや。


さっきのでは

091024_m4.jpg

こうやって図を書けば、難しいことを言うてるわけでは全然ないねんな。
○で囲っていく絵を描くだけやからな。


これを式にあらわすと少々複雑にはなるねんけど。


だから悩むんじゃなくて、まずは図を書いてみるねん。
そしたら、意味がわかってきやすいねんな。


そら図で書くと思い込みが発生して反対にわかりにくいこともあるかもしれんけど。


今日は集合の演算とか位相とか、まずは図を書いて図で考えて式を立ててくれって言うことですわ。

数理物理




テーマ:算数・数学の学習 - ジャンル:学校・教育

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