正規部分群は最初に経験する忘れらない切ない経験ですが、今回はそういう正規部分群について説明したいと思います。




まずは定義は
Gを群として、HがGの部分群で

H=gHg^-1(∀g∈G)
(gHg^-1:={ghg^-1|h∈H})

を満たすとき、HをGの正規部分群と言います。


まあこれだけ聞くと正規部分群はなんかようわからんことが多いねん。
なんでこんな定義してるのか、どう扱ったらええのか。
それで定義も忘れると。


そこでまずは正規部分群にイメージを持ってもらいたいねん。



だいたいこんな感じ。
これでだいたい、

せ…正規部分群…おまえ…

ってなると思うねんけど、もう少し説明を加えると正規部分群は正規部分群だけ見ててもあんまよくわからんかって剰余集合を考えて見てほしいねん。


だから大学の数学は意味はわからんけど、とりあえずは何となく書いて覚えてみて進めまくることで関連性とか同じような考え方とかが出てきてわかってきたり、記憶が定着したりするねんな。



剰余集合G/Hを考えて、これが自然に群の構造を持つにはどうなればええかってことを考えてみるねんけど、群の構造を持つとしたらGの任意の元a,bに対して
(ah)(bh')=abh''
(h,h',h''∈H)
と言うような演算が成り立たなあかんわけやな。

でも群は可換とは限らないから

(ah)(bh')=abh''
⇔
ahbh'=abh''

で計算がとまってしまうねん。


もしGがアーベル群なら積の順番が交換できるから
ahbh'=abhh'
なわけやからh''=hh'で特に問題なく
(ah)(bh')=abh''
は成り立ってるねん。




ただGがアーベル群でなくても

ahbh'=abh''
⇔
a(hb)h'=abh''

でhb=bh'''となるようなら

ahbh'=abh'''h'
でh''=h'''hでうまいこといくねん。

だからアーベル群より緩い

Hb=bH

ぐらいの可換性が任意のGの元bで成り立てばええわけやねん。

Gの元bとHの元hは交換することは出来なかったとしても

hb=bh'''

と言うようにHの中の他の元になるけど、交換らしきことを考えるねん。


するとHb=bHって言うのは文字を書き換えると
gH=Hg(∀g∈G)
が成り立つことやけど、これはg^-1を右から作用させて

gHg^-1=H

になるから、正規部分群になりますやん。


だから、正規部分群って言うのは剰余集合が群になる意味があって、可換性が求められるねんけど、アーベル群ほどの可換性はないけどもう少し緩い可換性やねん。

アーベル群

xy=yx(∀x,y∈G)

正規部分群

xH=Hx(∀x∈G)


こうやって、関連性とか意図が見えてくるとわかりやすくなったりするねんけどな。
それが見えてくるには、そこでわからんって悩んだりし続けるんじゃなくて手を動かして書いてとりあえずは覚えてみてどんどん進めていくことで見てくるねん。


そしたらこれをもう少しちゃんと書くと



群Gの正規部分群Hに対して

(xH)(yH)∈G/H×G/H→G/H∋(xyH)
(x,y∈G)
と定める乗法によりG/Hは群になり

Ψ:x∈G→G/H∋xH
により定まる写像ΨはGからG/Hの上への凖同型である。


[証明]


y∈Gのとき、yHy^-1=Hゆえ
Hy=yH
よって
(xH)(yH)=x(Hy)H
=xyHH
=xyH
がGの部分集合として成立してる。

よって,G/Hにおける演算
(xH)(yH)=xyH
は元xH,yHの表し方に関係なく定まる。

これはwell-definedってやつやな。

xH=x'H、yH=y'Hの時にもし
xyH≠x'y'H
になったら、写像として意味がないねんな。

でもさっきの計算から
(xH)(yH)=xyH
がGの部分集合として成り立っていて
(x'H)(y'H)=x'y'H
もGの部分集合として成り立っていてxH=x'H、yH=y'Hの時は
xyH=x'y'H
もGの部分集合として成り立つからオッケーやねん。


次に結合法則は

x,y,z∈Gに対して
((xH)(yH))(zH)=(xyH)(zH)
=(xy)zH
=x(yz)H
=(xH)(yH)(zH)

G/Hの単位元はHで

(xH)(x^-1H)=xx^-1H
=H
だからx^-1HがxHの逆元

だからG/Hは群になる。


Ψ(xy)=xyH
=(xH)(yH)
=Ψ(x)Ψ(y)
よりΨは凖同型

数理物理