受験数学わんこらスクール
京大理学部で数学をやったわんこらが中学生や高校生、受験生に数学の公式や問題を解説します。

円と双曲線の共通接線の問題、名古屋大学理系2009年度第一問の解説
そしたら名古屋大学の過去問も解説していきましょか。

名古屋大学2009年度理系第一問

[問題]
091106_m1.jpg

a>0,b>0とする。点A(0,a)を中心とする半径rの円が、双曲線x^2-y^2/b^2=1と2点B(s,t),C(-s,t)で接しているとする。ただし、s>0とする。ここで、双曲線と円が点Pで接するとは、Pが双曲線と円の共有点であり、かつ点Pにおける双曲線の接線と点Pにおける円の接線が一致することである。

(1)r,s,tを,aとbを用いて表せ。

(2)△ABCが正三角形となるaとrが存在するようなbの値の範囲を求めよ。


[解答と解説]
091106_m2.jpg

対称性からB(s,t)において双曲線と円が接する条件を式にしたらええねんけど、
普通は二曲線y=f(x),y=g(x)が点P(p,q)で接するとは
f(p)=g(p)
f'(p)=g'(p)
ってことやったけど、今回は円と双曲線やからこういう形にしようとしたら若干ややこしいねんな。

微分も数学3Cの範囲になるしな。
別に理系の問題やから数学3Cの範囲になってええねんけど。

でも
f(p)=g(p)
f'(p)=g'(p)
の意味は
f(p)=g(p)
二つの曲線は点Pを通って
f'(p)=g'(p)
点Pにおける接線の傾きが等しい
って言う意味やから

○双曲線と円がB(s,t)を通る
○双曲線と円のB(s,t)における接線の傾きが同じ

で式をたてればよくて

双曲線と円がB(s,t)を通るには円の方定式はx^2+(y-a)^2=r^2だから

s^2-t^2/b^2=1
s^2+(t-a)^2=r^2

それで接線はそれぞれ公式から

sx-ty/b^2=1
sx+(t-a)(x-a)=r^2

で傾きが等しくなるには
-t/b^2=t-a



s^2-t^2/b^2=1
s^2+(t-a)^2=r^2
-t/b^2=t-a

この三つからs,t,rをa,bで表したらええことになります。


接線の公式は名古屋大学なら公式集とかついてるから忘れても大丈夫みたいやな。

公式はこういう使いかたを覚えな意味がないねんけど。

それで答えは

s=(√((b^2+1)^2+a^2b^2))/(b^2+1)
r=(√(a^2+b^2+1)/(b^2+1))
t=ab^2/(b^2+1)

(2)
△ABCが正三角形になるどうしたらええかやな。
代表的なのは

091106_m3.jpg

○三辺の長さが等しい
○2辺の長さが等しくて、その間の角が60°
○二つの角度が60°

あたりかな。

正三角形のことを知るには、正三角形を抱くのではなく正三角形に抱かれるんやってことを意識してください。


それでAB=AC=r,BC=2sやから三辺の長さが等しいのr=2sを使ってまえば簡潔そうやな。

091106_m4.jpg

r=2sの式を整理すると

(1-3b^2)a^2=3(b^2+1)^2

で1-3b^2=0とすると左辺は0,右辺は0ではないから矛盾して1-3b^2≠0つまりb≠1/√3なわけで

a^2=3(b^2+1)/(1-3b^2)

と言うように、aとrが存在するようにやからaについて整理して二次方式を出してa>0で解を持つと言うように解の配置問題にするのがコツで

a^2=3(b^2+1)/(1-3b^2)
r=ab^2(b^2+1)

からrはa(>0)が決まればr(>0)が勝手に決まるから、

a^2=3(b^2+1)/(1-3b^2)

の式でaが存在するようなbの範囲を求めたらええことになります。

a(>0)が存在するには解の配置とか大げさなことやらなくても

3(b^2+1)/(1-3b^2)>0

であればええから、これを解いて0<b<1/√3

名古屋大学の入試の数学の過去問の解説




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