受験数学わんこらスクール
京大理学部で数学をやったわんこらが中学生や高校生、受験生に数学の公式や問題を解説します。

確率と漸化式の問題、名古屋大学2009年度理系第四問のAと文系第三問の解説
君らは電車に乗ったことさえ気づかない子供だちみたいなもんや。

名古屋大学理系2009年度第四問のAの解説。


[問題]
(A)
091113m1.jpg
さいころを投げると、1から6までの整数の目が等しい確率で出るとする。さいころをn回(n=1,2,3,…)投げるとき、出る目の積の一の位がj(j=0,1,2,…,9)となる確率をp_n(j)とする。
(1)p_2(0),p_2(1),p_2(2)を求めよ。
(2)p_(n+1)(1)を,p_n(1)とp_n(7)を用いて表せ。
(3)p_n(1)+p_n(3)+p_n(7)+p_n(9)を求めよ。
(4)p_n(5)を求めよ。



[解答]
(1)
2回サイコロを投げて目の積の一の位が0の時と1の時と2の時の確率を求めよってことやけど、まず0になるのは5の倍数やから
5の倍数×偶数
になってるはずや。


それはそうやねんけど今日はそういうことを言いたいんじゃなくて、もっと理屈抜きで表を書いてしまえってことを説明したいねん。

091113m2.jpg

縦に一回目の目
横に二回目の目
マス目を2回目投げたときの出る目の積とすると、6×6の表が出来ますやん。


もうそれで表を見たら、0になってるのは6個やから確率は
p_2(0)=6/36
=1/6

1になってるのは1個だけやから
p_2(1)=1/36

2になってるのは6個あるから
p_2(2)=6/36
=1/6

で終わりや。

ややこしい説明もいらんし、簡単に出来るねんな。


こういう解き方の流れ、考え方、思考法を覚えて身につけて欲しいねん。

このやり方自体を覚えて欲しいねんな。


こうやって理屈を書くよりも表にしてまう。

中学生の時の確率の授業を思い出してくれ。

091113m3.jpg

まだピチピチの短パンを履いてママと手をつないで歩いてたら純粋やった時や。

あの時は、友達に裏切られることは無いと思ってたしエロ本を見るやつは不良やと思ってた。
そういうピュアなときに、サイコロを二つ振ったときとか6×6の表を書いて確率を求めたりしたやろ。


ああ言う思考法は純粋な少年と言う高貴なものに宿るねん。


意味わからんわ!


とりあえず、まあこの感覚を身につけたってくれ。


(2)
091113m4.jpg

同じように縦にn回投げたときの目の積の一の位を書いて
横にn+1回目の目を書いて
マス目にn+1回投げたときの目の積の一の位を書いて表にしてみると、

n+1回目に1になるのは
縦が1、横が1
縦が7、横が3
の二つだけってことがわかります。

だから言葉に直せば
n回目の積の一の位が1でn+1回目に1の目、
n回目の積の一の位が7でn+1回目に3の目の時だから

p_(n+1)(1)=p_(1)×1/6+p_n(7)×1/6
=(p_n(1)+p_n(7))/6

ってわかりました。


まあでもちょっと漸化式を使う確率の問題に慣れて置かな式が立てにくいかもしれんけどな。

(3)
091113m5.jpg

表を見たら1,3,7,9が出てるのは横が1か3、縦が1か3か7か9のところが全部91,3,7,9で他はないから要するに1か3だけが出続けたらええねんな。

だから
p_n(1)+p_n(3)+p_n(7)+p_n(9)=(2/6)^n
=(1/3)^n

まあ表から漸化式を立ててもええけど、大げさになるな。

一応書いておいたら
p_(n+1)(1)+p_(n+1)(3)+p_(n+1)(7)+p_(n+1)(9)
=1/3×(p_n(1)+p_n(3)+p_n(7)+p_n(9))
p_1(1)=p_1(3)=1/6
p_1(7)=p_1(9)=0



(4)
091113m6.jpg

これも表から漸化式を立ててもええねんけど、だいたい前問がヒントになってるから前問を見ていると
p_n(1)+p_n(3)+p_n(7)+p_n(9)
を求めさせられたわけやから、これは奇数で5がかけてるやん。

これを使えと言わんばかりやろ。

だから確率で後はよく使うのは余事象やから、余事象を利用して求められるんちゃうかって考えてみると

p_n(1)+p_n(3)+p_n(7)+p_n(9)+p_n(0)+p_n(2)+p_n(4)+p_n(6)+p_n(8)+p_n(5)=1

やから後は
p_n(0)+p_n(2)+p_n(4)+p_n(6)+p_n(8)
が求まればええねん。


これは一の位が偶数やから、つまりは偶数になるってことやからn回のうち少なくとも一回は偶数が出たらええからこれは余事象を使って全体から全部奇数である場合を引いて

1-(1/2)^n

と求まるから

p_n(5)=1-(1/3)^n-(1-(1/2)^n)

=(1/2)^n-(1/3)^n

って求まりました。

名古屋大学の入試の数学の過去問の解説




テーマ:大学受験 - ジャンル:学校・教育

▲ページトップへ
この記事に対するトラックバック
トラックバックURL
→http://kazuschool.blog94.fc2.com/tb.php/384-4d595f80
この記事にトラックバックする(FC2ブログユーザー)
▲ページトップへ
プロフィール

わんこら

Author:わんこら
京都大学理学部で数学と物理を勉強し、数学を専攻しました。
東京で数学と物理の講師やってます

わんこら日記で日記とか勉強の仕方とか書いています

わんこら式数学の勉強法

メール
迷惑メールにされる危険性があるので出来るだけ
kazuyuki_ht○guitar.ocn.ne.jp
(○を@にしてください)に送ってください
勉強とかでどんな悩み持ってるかなど色々と教えてくれると嬉しいです。
わんこら式のやり方についてのメールはわんこら式診断プログラムを参考にしてください

詳しいプロフィール

人気blogランキングへ



にほんブログ村 受験ブログへ



学生広場

相互リンクも募集してます。

何かあれば
kazuschool_ht★yahoo.co.jp
かメールフォームからメールください。
(★を@にしてください)

カテゴリー

メールフォーム

名前:
メール:
件名:
本文:

FC2カウンター

リンク

このブログをリンクに追加する

お勧めの参考書、ノート

数学でお勧めのノートは
KOKUYOの無地
理由




センター試験は過去問が大切


チャートが終わったらお勧め
大学への数学1対1シリーズ
数学1


数学A


数学2


数学B


数学3


数学C

月別アーカイブ

ブログ内検索

RSSフィード

最近のトラックバック

ブロとも申請フォーム

この人とブロともになる

  1. 無料アクセス解析