受験数学わんこらスクール
京大理学部で数学をやったわんこらが中学生や高校生、受験生に数学の公式や問題を解説します。

空間ベクトルの問題、名古屋大学文系2009年度第一問の解説
やさしいお兄さんたちと遊ぶ会に参加した時の話あるけど聞く?


名古屋大学文系2009年度第一問の解説


[問題]
091118_m1.jpg

空間のベクトルOA→=(1,0,0),OB→=(a,b,0),OC→が、条件
|OB→|=|OC→|=1,OA→・OB→=1/3,OA→・OC→=1/2,OB→・OC→=5/6
をみたしているとする。ただし、a,bは正の数とする。
(1)a,bの値を求めよ。
(2)三角形OABの面積Sを求めよ。
(3)四面体OABCの体積Vを求めよ。


[解答と解説]
091118_m2.jpg

(1)この問題は内積とかベクトルの計算が出来るか?って言うようなことを聞いてきてます。

a→=(x,y,z)とb→=(x',y',z')があると内積は
a→・b→=xx'+yy'+zz'
と計算して
a→の長さ|a→|って言うのは|a→|^2=a→・a→と二乗して内積として解釈されてました。

だから
|OB→|^2=1

OB→・OB→=1

(a,b,0)・(a,b,0)=1

a^2+b^2+0^2=1

a^2+b^2=1

また
OA→・OB→=1/3

(1,0,0)・(a,b,0)=1/3

a=1/3

でa=1/3をa^2+b^2=1に代入してbは正だから
b^2=1-(1/3)^1=8/9
より
b=(2√2)/3


(2)
OA→とOB→がわかってて、△OABの面積を求めろ言うたら

S=1/2√(|OA→|^2|OB→|^2-(OA→・OB→)^2)
=1/2√(1^2・1^2-(1/3)^2)
=(√2)/3

って求めてください。

こんなマニアックな公式覚えてへんわ!

って言う厳しい意見もありますが、これは意外にもよく出ててセンター試験でも結構使いこともありますが覚えてなくても普通に三角形の面積を求めようとしたら自然とこうなります。

091118_m3.jpg

なんでか言うとOA→とOB→のなす角度をθとすると、OA→=a→,OB→=b→とおいて

1/2|a→||b→|sinθ
が面積やけど、まずsinθがいるからこれは内積からcosθをまずは求めて

cosθ=(a→・b→)/|a→||b→|

それで0≦θ≦180°だから

sinθ=√(1-(cosθ)^2)
=√(1-((a→・b→)/|a→||b→|)^2)

この値を計算してから

1/2|a→||b→|sinθ

を計算したらええねんけど、これcosθをだすときに(a→・b→)/|a→||b→|と言うように|a→||b→|で割ってから、1/2|a→||b→|sinθでまた|a→||b→|をかけてるから微妙に二度手間なってますやん。
だから数字を入れるのは最後にして、まずは文字のまま計算進めてみると

1/2|a→||b→|sinθ
=1/2|a→||b→|√(1-(a→・b→)^2/|a→|^2|b→|^2)
=1/2√(|a→|^2|b→|^2-(a→・b→)^2)

でここまで計算して|a→|と|b→|とa→・b→の値をいれたら計算がちょっと早いから自然とこの形になるわけやねんな。

だからこうやって導きながら使ったらええねんけど、やっぱり覚えてしまったら便利で早いと思います。


(3)
091118_m4.jpg

まずOC→を求めて点Cの座標を求めたらええってことはわかります。
そこから三角形OABの面積を(2)で求めさせられたからには体積Vを求める時に△OABを底面と考えて点Cの高さを求めるんちゃうかってとこまではゴルゴンゾーラやろ。

どういう意味やねん。


だから高さを求めるには点Cから平面OABに垂線CHを降ろして

○点は平面OAB上より
OH→=αOA→+βOB→(α,βは定数)

○直線CH⊥平面OABより
CH→・OA→=0
CH→・OB→=0

と言うように式をたてて解くのがお決まりでした。


ただ、図を描いてみたらそんなややこしいことせんでも平面OABはxy平面やから高さはCのz座標なだけってことに気づきます。

だからまずはなんか知らんけど図をかいてみるってことが大切やねん。

大切と言うか、もう基本やな。

考える前になんか知らんけど図をかいてみる。

そしたらわかってくるねん。

091118_m5.jpg

OC→=(X,Y,Z)とおくと

OA→・OC→=1/2⇔X=1/2

OB→・OC→=5/6⇔X/3+2(√2)Y/3=5/6

|OC→|=1⇔X^2+Y^2+Z^2=1

これらを解いて

(X,Y,Z)=(1/2,(√2)/2,±1/2)

Zは二つ出て来るけど、どっちでも高さ1/2になるから体積は同じです。

だから

V=1/3・S・1/2=(√2)/18

名古屋大学の入試の数学の過去問の解説




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