受験数学わんこらスクール
京大理学部で数学をやったわんこらが中学生や高校生、受験生に数学の公式や問題を解説します。

円と放物線が接する問題、名古屋大学文系2009年度第二問の解説
なんか落とし物を届けたに行ったら、おっさんに唾かけられた気分や。


名古屋大学文系2009年度第二問の解説


[問題]
091118_m6.jpg

放物線y=ax^2(a>0)と円(x-b)^2+(y-1)^2=1(b>0)が点P(p,q)で接しているとする。
ただし、0<p<bとする。この円の中心Qからx軸に下ろした垂線とx軸との交点をRとしたとき、∠PQR=120°であるとする。
ここで、放物線と円が点Pで接するとはPが放物線と円の共有点であり、かつ点Pにおける放物線の接線と点Pにおける円の接線が一致することである。

(1)a,bの値を求めよ。
(2)点Pと点Rを結ぶ短い方の弧とx軸および放物線で囲まれた部分の面積を求めよ。


[解答と解説]
えっと放物線と円が点P(p,q)で接すると言うことは、点Pが共有点で点Pにおける接線の傾きが等しいことだから

点Pが共有点より
q=ap^2
(p-b)^2+(q-1)^2=1

接線の傾きはy=ax^2の微分
(ax^2)'=2ax
から点Pにおける傾きは2ap

円の(p,q)における接線は
(p-b)(x-b)+(q-1)(x-1)=1
から傾きは
-(p-b)/(q-1)

やから

2ap=-(p-b)/(q-1)

これらを解いてまず
q=ap^2
(p-b)^2+(q-1)^2=1
からq消去して
a^2p^4+(1-2a)p^2-2bp+b^2=0



ってやってると

091118_m7.jpg

だら~ん血吐いて倒れます。

血吐いてから倒れるんじゃなくて、倒れてから血吐きます。


こういう円が絡む問題は計算だけでやるんじゃなくて、図形的に解くのがポイントなことが非常に多いねんな。
まさにこの問題はそういう図形的にやるやつの典型やと思うええ問題やと思うわ。

091118_m8.jpg

まずは図を書いてみると、ちょうど円はx軸と放物線の両方に接してることがわかります。

それでまずは点Pが共有点になることは、PQ=1であればええねんけど∠PQR=120°やったからこのことも併せて図のような直角三角形を考えて

P(p,ap^2),Q(b,1)やから

b-p=cos30°
ap^2-1=sin30°

って式が立ちます。

これでPQ=1と∠PQR=120°の両方の条件を表せてるねんな。

それで次は接線の傾きが等しいって条件を式にせなあかんねんけど、これも図形的に言うと円において
円の性質から直線PQと点Pにおける接線は垂直に交わりますやん。

だから
PQの傾き=tan150°=-1/√3
やから円の点Pにおける接線の傾きmとすると

(-1/√3)・m=-1

m=√3

って点Pにおける接線の傾きが図形的に求まって、今度は放物線の点P(p,ap^2)における傾きは微分したらええから
(ax^2)'=2ax
より
2ap
でこの二つの傾きが等しくないとあかんから

2ap=√3

になります。

b-p=cos30°
ap^2-1=sin30°
2ap=√3

の三式から

p=√3,a=1,b=3(√3)/2


だからこういう風に円が出てくると、計算式だけでやるより図形的にやると格段に計算量が減って上手いこといくことが多いねんな。

この問題で、こういう考え方とか勉強したってください。

(2)
091118_m9.jpg

面積はこれも図形的にパズルみたいに処理をするのがポイントで図のように求める面積のとこを斜線部を引くと

斜線部=(四角形OPQR)-(QPRの扇型)

でさらに四角形OPQRの方は三角形と台形にわけると計算出来るから

斜線部=(四角形OPQR)-(QPRの扇型)
=(図の三角形)+(図の台形)-(QPRの扇型)
=1/2・√2・3/2+1/2・(3/2+1)・(√3)/2-π/3
=9(√3)/8-π/3

こういう説明をごちゃごちゃ書くより図を描くと言う解答の書き方とかも真似して身につけたってください。

ちなみにこの問題はセンター試験数学ⅡB2002年度の第二問とほとんど同じやったりします。

名古屋大学の入試の数学の過去問の解説




テーマ:大学受験 - ジャンル:学校・教育

▲ページトップへ
この記事に対するトラックバック
トラックバックURL
→http://kazuschool.blog94.fc2.com/tb.php/387-7fc5c911
この記事にトラックバックする(FC2ブログユーザー)
▲ページトップへ
プロフィール

わんこら

Author:わんこら
京都大学理学部で数学と物理を勉強し、数学を専攻しました。
東京で数学と物理の講師やってます

わんこら日記で日記とか勉強の仕方とか書いています

わんこら式数学の勉強法

メール
迷惑メールにされる危険性があるので出来るだけ
kazuyuki_ht○guitar.ocn.ne.jp
(○を@にしてください)に送ってください
勉強とかでどんな悩み持ってるかなど色々と教えてくれると嬉しいです。
わんこら式のやり方についてのメールはわんこら式診断プログラムを参考にしてください

詳しいプロフィール

人気blogランキングへ



にほんブログ村 受験ブログへ



学生広場

相互リンクも募集してます。

何かあれば
kazuschool_ht★yahoo.co.jp
かメールフォームからメールください。
(★を@にしてください)

カテゴリー

メールフォーム

名前:
メール:
件名:
本文:

FC2カウンター

リンク

このブログをリンクに追加する

お勧めの参考書、ノート

数学でお勧めのノートは
KOKUYOの無地
理由




センター試験は過去問が大切


チャートが終わったらお勧め
大学への数学1対1シリーズ
数学1


数学A


数学2


数学B


数学3


数学C

月別アーカイブ

ブログ内検索

RSSフィード

最近のトラックバック

ブロとも申請フォーム

この人とブロともになる

  1. 無料アクセス解析