受験数学わんこらスクール
京大理学部で数学をやったわんこらが中学生や高校生、受験生に数学の公式や問題を解説します。

式と証明の問題、東北大学理系2009年度第一問の解説
ちょっとユニクロでヒートテック買ってくるわ。


東北大学2009年度理系第1問の解説


[問題]
091119_m1.jpg

a,b,cを実数とする。
以下の問いに答えよ。

(1)a+b=cであるとき、
a^3+b^3+3abc=c^3
が成り立つことを示せ。

(2)a+b≧cであるとき、
a^3+b^3+3abc≧c^3
が成り立つことを示せ。


[解答と解説]
(1)
091119_m2.jpg

こういうのは文字を消去したら、ほぼ機械的に出来て例えばc=a+bからcを消去する方針でいくと
a^3+b^3+3abc=a^3+b^3+3ab(a+b)
=(a+b)^3
=c^3
で題意成立。

(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3
って乗法公式があるけど、これは中の二つの項3a^2bと3ab^2を3abでくくって

(a+b)^3=a^3+3ab(a+b)+b^3
=a^3+b^3+3ab(a+b)

と言うようにa^3+b^3+3ab(a+b)の形で使うこともよくあるから覚えといたってください。

a,bの対称式でa+bとabがあたえられてるときに
a^3+b^3=(a+b)^3-3ab(a+)b
とかしたらa^3+b^3が求められるとか言うようによく出てきます。

(2)
えっと
a^3+b^3=(a+b)^3-3ab(a+b)
やったから
a^3+b^3+3abc=(a+b)^3-3ab(a+b)+3abc
≧c^3-3ab(a+b-c)
≦c^3



091119_m3.jpg

ぶほー!!

ってドラえもんでさえ血吐いて倒れます。

正確にはドラえもんだけ血吐いて倒れます。


まあさっき(a+b)^3=a^3+b^3+3ab(a+b)はよく使うから覚えてくれ言うて、そっこう使ったら失敗する例で申し訳ないねんけど。

これはどうやって示したらええんやろな。


一つの考え方としては、こういう代数的に見える問題でも解析的にやると簡単になることがあって

a^3+3bca+b^3-c^3≧0を示したらええわけやけどaの関数と考えて
f(a)=a^3+3bca+b^3-c^3
a+b≧cはaの定義域がa≧c-bと考えて

f(a)は三次関数だから微分して増減しらべて最小値が0以上であることを示したらええことになります。
また機械的に出来るところが優秀やねんな。


ただ、この問題はそれをやるとものすごくややこしいねん。

とは言っても一応出来て、まあ東大でも受けない限りこんなややこしい処理はせえへんからとりあえずは読み飛ばして最後の解答を見てくれたらええねんけど

091119_m4.jpg

f'(a)=3a^2+3bc=3(a^2+bc)

(i)bc≧0の時f'(a)≧0だから
f(a)≧f(c-b)=0

f(c-b)はa+b=Cの時、つまり(1)の状態の時やからそら0になるねんな。


(ii)bc<0の時
aを全ての実数の範囲で考えると極小値は√(-bc)だから
f(√(-bc))=2bc√(-bc)+b^3-c^3
で最小値を調べるには
f(a)=f(√(-bc))
となるaを求めて
(a-√(-bc))^2(a+2√(bc))=0
より
a=√(-bc),-2√(-bc)

[1]√(-bc)≦c-bの時と
[2]-2√(-bc)≦c-b≦√(-bc)の時と
[3]c-b≦-2√(-bc)の時

の三つに場合分けしたらええねんけど、この√がついてるから不等式の条件を整理する処理が大変でそら出来なあかんことではあるねんけどやってみると

[1]
√(-bc)≦c-b
これは二乗したらええねんけど、二乗した時に
-bc≦(c-b)^2
ってなるけどc-b≧0でないと元の不等式と同値な変形にならなかったことに注意したってください。

まあ左辺の√(-bc)が0以上だからc-b≧0⇔c≧bでこの時、両辺0以上だから二乗しても同値と考えたらええかな。

√(-bc)≦c-b

c-b≧0かつ-bc≦(c-b)^2

c≧bかつ(c-b^2/2)^2+3b^2/4≧0

で(c-b^2/2)^2+3b^2/4≧0はどんなb,cでも成り立ってるから結局

c≧bであればよい。

この時グラフからf(c-b)が最小値でf(a)≧f(c-b)=0


[2]-2√(-bc)≦c-b≦√(-bc)

c-b≦√(-bc)
の部分はc-b≦0⇔c≦bの時は無条件に成立で
c-b>0⇔c>bでは両辺正より二乗しても同値で

c^2-2bc+b^c≦-bc

c^2-bc+c^2≦0

(c-b^2/2)^2+3b^2/4≦0

であるがb=0,c=0でないとこれは成り立たないがc>bより不適。

よってc≦b

c≦bで考えて
-2√(-bc)≦c-b
は両辺0以下より
4(-bc)≧(c-b)^2
と同値で
これを整理すると
(b+c)^2≦0

b=-c

だから
c≦b
b=-c

c≦0
b=-c

この時は-2√(-bc)=c-bと一致してるねんな。

それでグラフから最小値はf(√(-bc))やけど、これはf(-2√(-bc))に等しくてさらにf(c-b)にも等しくてf(c-b)=0やったから
f(a)≧f(√(-bc))=0

[3]c-b≦-2√(-bc)
は-2√(-bc)は0以下やから左辺は0以下にならなあかんから
c-b≦0⇔c≦b
で両辺0以下やから二乗しても同値。

だから

c-b≦-2√(-bc)

c≦bかつ(c-b)^2≧4(-bc)

c≦bかつ(c+b)^2≧0

c≦b

(c+b)^2≧0は元から成り立ってるから,c≦bだけでよくなります。

それでこの時グラフからa=c-bで最小値で
f(a)≧f(c-b)=0

以上よりf(a)≧0より題意成立。

[2]の場合わけは[3]に含まれるからいらんねんけど。

こういう風に絶対解ける方法で根性で計算して処理して正確に解けるようになれば、これが根本的な力の底上げにはなるとは思うねんけど、こんな解答してたらアホなんか賢いんかわからんだけかもしれんな。


まあ言うても東北大やからこんな難しいわけがない。

こんなん書いたら怒られるな。

東北大は由緒正しい旧帝国大学や。

でもここまで難しいわけがない。


これはもっと簡単な問題やねん。

091119_m5.jpg

なんか

a^3+b^c+3abc-c^3

って見たことなかったかな?

a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)

って因数分解あったやん。

これと似てるやろ。

実際これは全ての実数a,b,cで成り立つわけやからcを-cに書き換えてよくて

a^3+b^3-c^3+3abc=(a+b-c)(a^2+b^2+c^2-ab+bc+ca)

こうすれば左辺に出て来るわけやねんな。

それで今a+b≧cやからa+b-c≧0です。

だから後は
a^2+b^2+c^2-ab+bc+ca≧0
であればよかったけど
a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca=(a-b)^2/2+(b-c)^2/2+(c-a)^2/2≧0
ってあったからcを-cに書き換えて
a^2+b^c+c^2-ab+bc+ca=(a-b)^2/2+(b+c^2)/2+(c+a)^2/2≧0

と示せます。

まあでもこんなん思いつきにくいと思うかもしれんけど(1)がヒントになってて(1)が言うてることは

a^3+b^3-c^3+3abc
はaの式と見るとa+b=cつまりa=c-bを代入すると値が0になるから因数定理よりa+b-cで割り切れるはずやねんな。

(a+b-c)の因数を持つはずなわけや。

だから割り算実行して因数分解すると

a^3+b^3-c^3+3abc=(a+b-c)(a^2+b^2+c^2-ab+bc+ca)

って式が自然と出て来るねん。

東北大学の入試の数学の過去問の解説




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