受験数学わんこらスクール
京大理学部で数学をやったわんこらが中学生や高校生、受験生に数学の公式や問題を解説します。

自然数の不等式の問題、東北大学理系2009年度第二問の解説
今日は風呂を何日も入ってないおっさんの匂い嗅がせてもらいました。

東北大学理系2009年度第二問の解説


[問題]
091121_m1.jpg

Lを2以上の自然数,aを0<a<1を満たす実数とする。縦1cm,横(L+1)cmの長方形の紙を用いて次のように長方形A,Bを作る。

長方形Aの作り方。L枚の紙を横に並べて順に1辺1cmの正方形をのりしろとして(隣り合う紙が横1cm重なるように)はり合わせ、縦1cmの横長さの長方形を作る。

長方形Bの作り方。L枚の紙を縦に並べて、隣り合う紙が縦acm重なるようにはり合わせて、横(L+1)cmの長方形を作る。

長方形A,Bの面積をそれぞれ、S_1cm^2およびS_2cm^2とおくとき、以下の問いに答えよ。

(1)S_1とS_2を求めよ。
(2)L=2のとき、S_1-1<S_2となるaの範囲を求めよ。
(3)S_1-1<S_2となる2以上の自然数Lがあるようなaの範囲を求めよ。


[解答と解説]
(1)
091121_m2.jpg

頭で考えると、L枚の横の長さを全部たすと
(L+1)L
重なってる部分がL-1箇所あるからAの横の長さは

(L+1)L-(L-1)=L^2+1

やねんけど、図を描けば横の長さは長さLがL-1個と長さL+1が1個で

L(L-1)+L+1=L^2+1

と何も悩むことなく計算できるねん。

こうやって頭を使おうとするんじゃなくて図を描いて図形的に処理する考え方を身につけたってくれ。

縦の長さは1やから

S_1=L^2+1


Bの方も図を描いたら縦の長さは、長さ1-aの部分がL-1箇所、長さ1の部分が1箇所で

(1-a)(L-1)+1=(1-a)L+a

だから横の長さがL+1より

S_2=((1-a)L+a)(L+1)
=(1-a)L^2+L+a


(2)
091121_m3.jpg

これはほんまそのまま計算やな。
L=2を代入すると
S_1=5,
S_2=-3a+6
やから
S_1-1<S_2⇔4<-3a+6
⇔a<2/3
で0<a<1とあわせて

0<a<2/3

(3)
091121_m4.jpg

まずは条件を整理していくと
S_1-1<S_2⇔L^2+1-1<L^2(1-a)+L+a
⇔L^2-L/a-1<0

これを満たす2以上の自然数Lが存在するようなaの範囲ってことやけど、これはまずLを実数の範囲で考えて二次関数のグラフを描いてから、そのグラフでLが自然数である点を考えるのが一つのよくある解法で

f(L)=L^2-L/a-1とおくと
f(L)=(L-1/(2a))^2-1-1/(4a^2)

これでグラフを描くとf(0)=-1<0で軸は1/(2a)>0やから
図形的に2以上の自然数Lがf(L)<0になるLが存在するには
f(2)<0
となればええことがわかるから

f(2)<0⇔a<2/3

よって0<a<1より

0<a<2/3

であればよいってことがわかります。

東北大学の入試の数学の過去問の解説

整数問題の解法の解説と問題演習




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