受験数学わんこらスクール
京大理学部で数学をやったわんこらが中学生や高校生、受験生に数学の公式や問題を解説します。

絶対値が入った積分の問題,電気通信大学前期昼間コース2009年度の第一問の解説
ちょっと色々な大学の問題も勉強になるように載せていきますわ。

まあ色々なもんが犠牲にはなるねんけどな。


[問題]
denkituusin2009zenhiru1.jpg
関数
f(θ)=∫(0→1)|√(1-x^2)-sinθ|dx
を区間0≦θ≦π/2で考えるとき、以下の問いに答えよ(配点 50)

(i)f(0),f(π/2)の値を求めよ.
(ii)f(θ)を簡単な式で表せ.
(iii)導関数f'(θ)を求めよ.
(iv)関数f(θ)の最大値および最小値を求めよ.
(v)I=∫(0→π/2)f(θ)dθの値を求めよ.

[解答と解説]
(i)
denkituusin2009zenhiru1_1.jpg

まずは具体的な値を計算してみって感じやな。
被積分関数に絶対値が入った積分ってことで符号で場合わけせなあかんけど、
まずf(0)は単に半径1の円の1/4の部分やからπ/4
f(π/2)は1≧√(1-x^2)なわけやから
|√(1-x^2)-1|=1-√(1-x^2)
で積分すると√(1-x^2)の積分はさっきと同じでπ/4やから
f(π/2)=1-π/4

(ii)
denkituusin2009zenhiru1_2.jpg
denkituusin2009zenhiru1_3.jpg

今度は一般的にf(θ)を求めよってことでこの積分はx=cosαと置換して
dx=-sinαdα
x | 0  |…|1|
α|π/2|…|0|
で√(1-(cosα)^2)=√(sinα)^2=|sinα|
やからsinαの符号が問題になるけど0≦α≦π/2では
sinα≧0

|√(1-(cosα)^2)-sinθ|=|sinα-sinθ|
だから今度はsinαとsinθの大小関係が問題になります。

これは

0≦α≦θの時
sinα-sinθ≦0
θ≦α≦π/2の時
sinα-sinθ≧0

だからこの区間で積分を分けて計算したらよくて

f(θ)=∫(π/2→0)|sinα-sinθ|(-sinα)dα
=∫(0→π/2)|sinα-sinθ|sinαdα
=∫(0→θ)(sinθ-sinα)sinαdα
+∫(θ→π/2)sinα-sinθ|sinαdα

後はもうしんどいから
(sinα)^2=(1-cos2α)/2
を使って
∫(sinα)^2dα=∫(1-cos2α)/2dα
=α/2-sin2α/4+C

を使って計算したってくれ。
まあ(sinα)^2って計算すること多いからこの結果を覚えてたら、計算が速くなって間違いも少なくなって便利かな。


答えは
-sinθcosθ-θ+sinθ+π/4
または2倍角であらわしたら
-(sin2θ)/2-θ+sinθ+π/4

denkituusin2009zenhiru1_4.jpg

(iii)
微分は特に問題ないと思います
f'(θ)=-cos2θ-1+cosθ
=-(2(cosθ)^2-1)-1+cosθ
=-2cosθ(cosθ-1/2)

(iv)は(iii)から増減表がかけて
最小値はθ=π/3の時で-π/12+(√3)/4

ですぐにわかって、最大値はx=0の時のπ/4かx=π/2の時の1-π/4かどっちかやけど
(1-π/4)-π/4=1-π/2<1-3/2=-1/2<0
だから
1-π/4<π/4
で最大値ははx=0の時のπ/4です。

(v)単純に計算したら終わりやけど、それ以上でもそれ以下でもないと言うか本当にこれでいいのかと言う問題もありますが…

もうええからはよ説明せい!

ちょっと書いたら終わりやろ。

積分するときは2倍角であらわしたらよくて

I=∫(0→π/2)(-(sin2θ)/2-θ+sinθ+π/4)dθ
=[(cos2θ)/4-(θ^2)/2-cosθ+πθ/4](0→π/2)
=1/2

高校数学の入試問題などの解説




テーマ:大学受験 - ジャンル:学校・教育

▲ページトップへ
この記事に対するトラックバック
トラックバックURL
→http://kazuschool.blog94.fc2.com/tb.php/391-606a7333
この記事にトラックバックする(FC2ブログユーザー)
▲ページトップへ
プロフィール

わんこら

Author:わんこら
京都大学理学部で数学と物理を勉強し、数学を専攻しました。
東京で数学と物理の講師やってます

わんこら日記で日記とか勉強の仕方とか書いています

わんこら式数学の勉強法

メール
迷惑メールにされる危険性があるので出来るだけ
kazuyuki_ht○guitar.ocn.ne.jp
(○を@にしてください)に送ってください
勉強とかでどんな悩み持ってるかなど色々と教えてくれると嬉しいです。
わんこら式のやり方についてのメールはわんこら式診断プログラムを参考にしてください

詳しいプロフィール

人気blogランキングへ



にほんブログ村 受験ブログへ



学生広場

相互リンクも募集してます。

何かあれば
kazuschool_ht★yahoo.co.jp
かメールフォームからメールください。
(★を@にしてください)

カテゴリー

メールフォーム

名前:
メール:
件名:
本文:

FC2カウンター

リンク

このブログをリンクに追加する

お勧めの参考書、ノート

数学でお勧めのノートは
KOKUYOの無地
理由




センター試験は過去問が大切


チャートが終わったらお勧め
大学への数学1対1シリーズ
数学1


数学A


数学2


数学B


数学3


数学C

月別アーカイブ

ブログ内検索

RSSフィード

最近のトラックバック

ブロとも申請フォーム

この人とブロともになる

  1. 無料アクセス解析