受験数学わんこらスクール
京大理学部で数学をやったわんこらが中学生や高校生、受験生に数学の公式や問題を解説します。

微分積分のグラフの問題、関西大学システム理工学部・環境都市工学部・化学生命工学部2009年度(2月1日)の第一問の解説
鼻水が出るとのが寂しいことのように感じるこの頃ですね。


今回は微積分のよくある標準的なグラフの問題です。

関西大学システム理工学部・環境都市工学部・化学生命工学部の2009年度2月1日実施

[問題]
kandairikou200921_1.jpg

f(x)=1/(1+e^(2x-1))(-∞<x<∞)
とおく。次の[ ]をうめ、設問(2),(3)に答えよ。

(1)f(x)の導関数f'(x)は
f'(x)=[1]
であり、f(x)の2次導関数f''(x)は
f''(x)[3]/(1+e^(2x-1))^2
である。
曲線y=f(x)には、変曲点が1つある。変曲点の座標は[3]である。
曲線y=f(x)には、漸近線が2本ある。そのうちの1つは,y=0である。
もう一方の漸近線の方程式は[4]である。

(2)曲線y=f(x)の増減表を記述蘭にかき、変曲点と漸近線が分かるように、y=f(x)のグラフの概形を解答用紙の[5]にかけ。

(3)[4]で求めた漸近線,y軸,直線x=1と曲線y=f(x)によって囲まれてできる領域の面積を求めよ(解答は記述蘭にかけ)。

[解答と解説]
(1)
kandairikou200921_11.jpg

まずf(x)の微分です。
1+e^(2x-1)で微分してから、1+e^(2x-1)をxで微分です。

f''(x)を求めるのはこういう

f'(x)=-2e^(2x-1)/(1+e^(2x-1))^2
のような分数関数の微分は結構大変なとこでよく計算間違いしますが、こういう答えしか受け付けませんって言わんばかりの問題は逆に恐いとこです。

分数関数f(x)/g(x)の微分
(f'(x)g(x)-f(x)g'(x))/(g(x))^2
にあてはめて計算したってください。

変曲点はあるとすればf''(x)が0になるとこでf''(x)=0になるのはe^(2x-1)のとこが0の時だけ、つまり2x-1=0⇔x=1/2の時だけだからこれが
f(1/2)=1/2で(1/2,1/2)が答えです。

穴埋めやからこれでええねんけど、記述式ならこれは不十分でした。

変曲点はf''(x)の符号が切り替わる点であって,0だからと言って変曲点とは限りません。
例えば
f''(x)=(x-2)^2
やったら、f''(2)=0やけどf''(x)=(x-2)^2≧0やからずっと上に凸な関数で凹凸がx=2で切り替わってません。

まあだから本当は増減表を書いてもて、変曲点はx=1/2のとこって言うのが一番明確やねんけど簡易的に書くとしたら

f''(x)=0⇔x=1/2
f''(x)>0⇔x>1/2
f''(x)<0⇔x<1/2
でx=1/2のとこでf''(x)の符号が切り替わってることを書いておけばええかな。

漸近線はy=0の方はx→∞の方の極限やから、もう一つはx→-∞の方を考えたらよくて
e^(2x-1)→0やから
lim(x→-∞)f(x)=1/(1+0)=1
でy=1がもう一つの漸近線です。

(2)
kandairikou200921_12.jpg

増減表を書いてグラフを描いたってください

漸近線と変曲点も書き入れといてな。

(3)
kandairikou200921_13.jpg

求める面積は0≦x≦1のとこでy=1とy=f(x)にはさまれた部分で

S=1-∫(0→1)1/(1+e^(2x-1))dx
を求めたらオッケーです。

まあこう来たら、だいたいe^xの関数やったらt=e^(2x-1)とか置換したらだいたい上手く行くかな。

t=e^(2x-1)
から
dt=2e^(2x-1)dx

dt/(2e^(2x-1))=dx
やけど左辺はtの関数にしたいとこやからe^(2x-1)をもっかいtに書き換えるのがコツで

dt/(2t)=dx

それで
x|0|…|1|
t|1/e|…|e|
後は計算して

S=1-∫(1/e→e)1/(2t(1+t))dt

この積分は
1/(t(t+1))=1/t-1/(t+1)
と言うように部分分数にしたらよかったですね。

まあこんなことオレが言うまでもなかったか。
すいません。

答えは1/2になります。

結構きれい過ぎて不安になる値やな。

高校数学の入試問題などの解説




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