受験数学わんこらスクール
京大理学部で数学をやったわんこらが中学生や高校生、受験生に数学の公式や問題を解説します。

三角関数と積分の問題、東北大学理系2009年度第4問の解説
とゅるえ~!

今日も調子ええな。
そしたら、東北大学2009年度理系第四問の解説いっときます。


[問題]
touhoku2009bunri4.jpg

aを0≦a≦π/2を満たす実数とする。以下の問いに答えよ。
(1)実数θに対してsinθとsin(θ-2a)のうち小さくないほうをf(θ)とおく。
すなわち、
sinθ≧sin(θ-2a)のときf(θ)=sinθ
sinθ<sin(θ-2a)のときf(θ)=sin(θ-2a)
となる関数f(θ)を考える。このとき定積分
I=∫(0→π)f(θ)dθ
を求めよ。
(2)aを0≦a≦π/2の範囲で動かすとき、(1)のIの最大値を求めよ。


[解答]
touhoku2009bunri4_1.jpg
(1)小さくないほう…どういうこっちゃどういうこっちゃどういうこっちゃって何回も同じことを言う状態になるとこやけど、ちゃんと空気を読んで式で表されてます。

sinθ≧sin(θ-2a)のときf(θ)=sinθ
sinθ<sin(θ-2a)のときf(θ)=sin(θ-2a)

だからsinθとsin(θ-2a)の大小関係が知りたいとこやけど、それは差の関数の符号を考えればいいから

sinθ-sin(θ-2a)

のおいて、どうすればいいかと言うと係数がどっちも1やから和から積への公式を使えて

sinA-sinB=2cos((A+B)/2)sin((A-B)/2)

でちょうど(A-B)/2の方ではA=θ,B=θ-2aだからθが消えてくれます。

だから

sinθ-sin(θ-2a)=2cos((2θ-2a)/2)sin(2a)
=2sin(2a)cos(θ-a)

これでθが関係するところはcos(θ-a)やから大小関係がわかって

0≦θ≦π

-a≦θ-a≦π-a


-π/2≦-a,π-a≦π/2
だから

-a≦θ-a≦π/2つまり
0≦θ≦a+π/2の時
sinθ-sin(θ-2a)≧0⇔sinθ≧sin(θ-2a)
より
f(θ)=sinθ

π/2≦θ-a≦πつまり
a+π/2≦θ≦a+πの時
sinθ-sin(θ-2a)≦0⇔sinθ≦sin(θ-2a)
より
f(θ)=sin(θ-2a)


または加法定理でばらすと、cosとsinの一次式になるから合成も出来るかな。

sinθ-sin(θ-2a)=sinθ-sinθcos(2a)+cosθsin(2a)
=(1-cos(2a))sinθ+sin(2a)cosθ
=2(sin(a)^2sinθ+2sin(a)cos(a)cosθ
=2sin(a)(sin(a)sinθ+cos(a)cosθ)
=2sin(a)cos(θ-a)

でも出来るな。


最後は定積分の計算をして

何が問題かと言うと、区間によって関数がかわる積分を君はしたことあるかい?って親指を立てて歯をピッカー光らせて近づいてくるところやねんけど

積分区間の0≦θ≦πでa+π/2でsinθからsin(θ-2a)にきりかわって

I=∫(0→π)f(θ)dθ
=∫(0→a+π/2)sinθdθ+∫(a+π/2→π)sin(θ-2a)dθ
=[-cosθ](0→a+π/2))+[-cos(θ-2a)](a+π/2→π)
=-cos(a+π/2)+1-cos(π-2a)+cos(π/2-a)
=sin(a)+1+cos(2a)+sina
=-2(sin(a))^2+2sin(a)+2

cos(a+π/2)=-sin(a)
cos(π-2a)=cos2a
cos(π/2-a)=sin(a)

とか駆使して整理したってください。

これは覚えていないといけないかと言うと、覚えているのが望ましいと言えば望ましいけど、ぱっと単位円を書いて図でわかったらええかな。

それか困ったときは加法定理でばらしたら終わりです。
例えば
cos(a+π/2)=cos(a)cos(π/2)-sin(a)sin(π/2)
=-sin(a)

(2)
これはもう、Iはsin(a)の二次関数やから平方完成して

I=-2(sin(a)-1/2)^2+5/2
で0≦sin(a)≦1だからsin(a)=1/2つまりa=π/3の時最大値5/2をとります。

まあaで微分してもええけどな。
二次関数で出来るのに数学3Cやりすぎ症候群やな。

東北大学の入試の数学の過去問の解説




テーマ:大学受験 - ジャンル:学校・教育

▲ページトップへ
この記事に対するトラックバック
トラックバックURL
→http://kazuschool.blog94.fc2.com/tb.php/397-aca7cbe4
この記事にトラックバックする(FC2ブログユーザー)
▲ページトップへ
プロフィール

わんこら

Author:わんこら
京都大学理学部で数学と物理を勉強し、数学を専攻しました。
東京で数学と物理の講師やってます

わんこら日記で日記とか勉強の仕方とか書いています

わんこら式数学の勉強法

メール
迷惑メールにされる危険性があるので出来るだけ
kazuyuki_ht○guitar.ocn.ne.jp
(○を@にしてください)に送ってください
勉強とかでどんな悩み持ってるかなど色々と教えてくれると嬉しいです。
わんこら式のやり方についてのメールはわんこら式診断プログラムを参考にしてください

詳しいプロフィール

人気blogランキングへ



にほんブログ村 受験ブログへ



学生広場

相互リンクも募集してます。

何かあれば
kazuschool_ht★yahoo.co.jp
かメールフォームからメールください。
(★を@にしてください)

カテゴリー

メールフォーム

名前:
メール:
件名:
本文:

FC2カウンター

リンク

このブログをリンクに追加する

お勧めの参考書、ノート

数学でお勧めのノートは
KOKUYOの無地
理由




センター試験は過去問が大切


チャートが終わったらお勧め
大学への数学1対1シリーズ
数学1


数学A


数学2


数学B


数学3


数学C

月別アーカイブ

ブログ内検索

RSSフィード

最近のトラックバック

ブロとも申請フォーム

この人とブロともになる

  1. 無料アクセス解析