受験数学わんこらスクール
京大理学部で数学をやったわんこらが中学生や高校生、受験生に数学の公式や問題を解説します。

Σ(k=1~n)ksink
Σ(k=1~n)ksink
これは足し方を工夫してください。
つまり、(akはaの添字がkって意味)
Σ(k=1~n)kak=
a1+2a2+3a3+…+nan
=(a1+a2+a3+…+an)
+(a2+a3+…+an)
+(a3+…+an)

+(an)
=Σ(m=1~n)Σ(k=m~n)ak
という変形ができます
だから
Σ(k=1~n)ksink=Σ(m=1~n)Σ(k=m~n)sink
で複素数ω=cos1+isin1の等比数列の和を考えて
Σ(m=1~n)Σ(k=m~n)ω
=Σ(m=1~n)ω^m(1-ω^(n-m+1))/(1-ω)
=Σ(m=1~n)(ω^m-ω^(n+1))/(1-ω)
=(ω(1-ω^n)/(1-ω)-nω^(n+1))/(1-ω)
=(ω-ω^(n+1)-nω^(n+1)-nω^(n+2))/(1-ω)^2
=(ω-ω^(n+1)-nω^(n+1)-nω^(n+2))(1-ω~2)^2/|1-ω|^4
…???
これで虚部と実部を比較すると答えが出ます。
たぶんこれ計算したら、血吐いて倒れるんちゃうかな。

Σ(k=1~n)ksink=Re{(ω-ω^(n+1)-nω^(n+1)-nω^(n+2))/(1-ω)^2}


別解
ω=cosx+isinx
とおいて
Σ(k=1~n)ω^k=ω(1-ω^n)/(1-ω)

Σ(k=1~n)coskx+isinkx=ω(1-ω^n)/(1-ω)
の関係式で両辺xで微分して
Σ(k=1~n)-ksinkx+ikcoskx=d{ω(1-ω^n)/(1-ω)}/dx
としてx=1を代入

高校数学の公式や問題の解説




テーマ:大学受験 - ジャンル:学校・教育

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