受験数学わんこらスクール
京大理学部で数学をやったわんこらが中学生や高校生、受験生に数学の公式や問題を解説します。

(京都大学文系) 四面体ABCDを底面とする四角錐OABCDを考える。点Pは時刻0では頂点Oにあり、1秒ごとに次の規則に従ってこの四角錐の5つの頂点のいずれかに移動する。
そろそろ6月も終わりますね。

梅雨が終わると、梅雨も終わると昔の人はよく言ったものです。


今日は京大の2007年の小問の2を解説します。
小問の1はこの行列A^6+2A^4+2A^3+2A^2+2A+3Eを求めよ。(京大文系、理系甲)
って問題です。


[問題]
080625_1.jpg

四面体ABCDを底面とする四角錐OABCDを考える。
点Pは時刻0では頂点Oにあり、1秒ごとに次の規則に従ってこの四角錐の5つの頂点のいずれかに移動する。

規則:点Pのあった頂点と1つの辺によって結ばれる頂点の1つに、等しい確率で移動する。

このとき、n秒後に点Pが頂点Oにある確率を求めよ。



[解答・解説]
問1は文系なのに行列の上に、誘導無しにこの問題が文系に出されるとはちょっと厳しいもんがあるような気がします。

どういう風に解き方の方針が立てれば良いのかって考えると、まずはいつものように問題を知ることから始めましょう。


まずはこの

規則:点Pのあった頂点と1つの辺によって結ばれる頂点の1つに、等しい確率で移動する。

って言う文章の意味はわかりますか?

理解出来へん奴は、たぶんノンバーバルな生活を送ってたんやと思いますわ。



簡単に言うと、辺を通って隣の頂点に移動するってことです。

だから、OからはAとBとCとDに移動出来て確率はそれぞれ1/4で

AからはOとBとDに移動できて確率はそれぞれ1/3です。

AからCへは移動できません。


と言うことは、点Pがn秒後に頂点Oに移動するのはそのn-1秒の時にA、B、C、Dのいずれかにあった時です。
n-1秒の時に頂点Oにあったらそこから移動しなければいけないから、頂点Oに点Pがn秒後に移動することはありえません。


これで、n秒後とn-1秒後の関係がわかりました。


nとn-1のように隣同士の関係がわかると、漸化式を立てて解くって言うことをよくやったと思います。


難しい確率の問題ではnとn+1とかn、とn+1とn+2の関係とかを調べて漸化式を立てて解くようなことは一度はやったことがあると思います。


やったこと無ければこの問題が良い教材になるから、しっかり勉強しましょう。


080625_2.jpg


n秒後に点Pが頂点Oにある確率をpnとします。
またA,B,C,Dにある確率は対称性から全て等しいはずでAのある確率をqnとすると
4qn+pn=1
qn=1/4(1-pn)
になるはずです。
だから点Aにある確率は余事象の1/4で
1/4(1-pn)
となります。

n秒後に点Pが頂点Oに移動するには、n-1秒で点PがA,B,C,Dのいずれかにあって確率1/3で頂点Oに移動する時だから
pn=1/3qn-1+1/3q-1+1/3/qn-1+1/3qn-1
=4/3qn-1
=1/3(1-pn-1)
です。
これはn≧1で成り立つ式です。
p0は一番最初に頂点Oに点Pがあるからp0=1です。

後は漸化式を解きます。


この漸化式の解き方はだいぶん前にやった
080523_5.jpg

この下の方に書いてあります。


上の方の解き方でやってますが
わかりやすいようにいつものように
pn+1=1/3(1-pn)(n≧0)…(A)
と書き直して、
まずはpnとpn-1のとこをxに置き換えて
x=1/3(1-x)…(B)
これを解くと
x=1/4で
(A)-(B):pn+1-x=-1/3(pn-x)
つまり
pn+1-1/4=-1/3(pn-1/4)
で{pn-1/4}は初項p1-1/4=-1/3(p0-1/4)
=-1/4
の等比-1/3の等比数列で
pn-1/4=-1/4(-1/3)^(n-1)
pn=1/4-1/4(-1/3)^(n-1)
(=1/4+3/4(-1/3)^n)です。


まあ、pnは初項p0-1/4=3/4で等比-1/3の等比数列のn+1項目で
pn-1/4=3/4(-1/3)^n
とやってもオッケーです。
と言うより普通はだいたいこっちかもしれませんが、最後にここで間違えると痛いので項数とか一つずれたりしないように丁寧にやりましょう。


高校数学の問題と解説

京都大学の入試の数学の過去問の解説




テーマ:算数・数学の学習 - ジャンル:学校・教育

▲ページトップへ
この記事に対するトラックバック
トラックバックURL
→http://kazuschool.blog94.fc2.com/tb.php/40-baa1ffcb
この記事にトラックバックする(FC2ブログユーザー)
▲ページトップへ
プロフィール

わんこら

Author:わんこら
京都大学理学部で数学と物理を勉強し、数学を専攻しました。
東京で数学と物理の講師やってます

わんこら日記で日記とか勉強の仕方とか書いています

わんこら式数学の勉強法

メール
迷惑メールにされる危険性があるので出来るだけ
kazuyuki_ht○guitar.ocn.ne.jp
(○を@にしてください)に送ってください
勉強とかでどんな悩み持ってるかなど色々と教えてくれると嬉しいです。
わんこら式のやり方についてのメールはわんこら式診断プログラムを参考にしてください

詳しいプロフィール

人気blogランキングへ



にほんブログ村 受験ブログへ



学生広場

相互リンクも募集してます。

何かあれば
kazuschool_ht★yahoo.co.jp
かメールフォームからメールください。
(★を@にしてください)

カテゴリー

メールフォーム

名前:
メール:
件名:
本文:

FC2カウンター

リンク

このブログをリンクに追加する

お勧めの参考書、ノート

数学でお勧めのノートは
KOKUYOの無地
理由




センター試験は過去問が大切


チャートが終わったらお勧め
大学への数学1対1シリーズ
数学1


数学A


数学2


数学B


数学3


数学C

月別アーカイブ

ブログ内検索

RSSフィード

最近のトラックバック

ブロとも申請フォーム

この人とブロともになる

  1. 無料アクセス解析