受験数学わんこらスクール
京大理学部で数学をやったわんこらが中学生や高校生、受験生に数学の公式や問題を解説します。

二次不等式の問題、東北大学文系2009年度第一問の解説
ちょっとチカちゃんを頼むわ。


東北大学文系2009年度第一問の解説


[問題]
touhoku2009bu1.jpg

すべての実数xに対して不等式

2^(2x+2)+2^x・a+1-a>0

が成り立つような実数aの範囲を求めよ。


[解答と解説]
touhoku2009bu1_1.jpg

指数の式とこればだいたい2^x=tとおいてtの式と考えて解くことが多いです。

2^(2x)は指数法則

a^(xy)=(a^x)^y=(a^y)^x

から(2^x)^2と考えて

2^(2x)=t^2

とか置いていきます。


2^(2x+2)のような場合は指数法則

a^(x+y)=(a^x)(a^y)

から

2^(2x+2)=(2^2)(2^(2x))
=4(2^(2x))
=4t^2

って置き換えるねん。


それで2^x=tと置いたときは範囲に注意してください。

xが全ての実数の範囲なら、2^xは全ての正の数を動きます。


だから2^x=tとおくと

2^(2x+2)+2^x・a+1-a>0

4t^2+at+1-a>0

でt>0やな。


だから問題はすべての正の数tで

4t^2+at+1-a>0

が成り立つような実数aの範囲を求めたらええことになるけど、どう扱って求めたらええかと言うと

f(t)=4t^2+at+1-a

とおいてy=f(t)(t>0)のグラフを考えて小さくなるとこが0より大きくなるようにしたらええねん。


二次関数では最小値は軸の位置によって変わったから

f(t)=4(t+a/8)^2+(-a^2-16a+16)/16

と平方完成して軸はt=-a/8ってわかります。


(i)
軸t=-a/8が0以下つまりはa≧0なら、t>0で増加関数やからf(0)のとこが0以上であればオッケーやな。
f(0)≧0⇔a≦1

f(0)>0じゃなくてf(0)≧0であることに注意したってください。

t>0はt=0は入らないからf(0)は0でもええねん。


それでa≧0とあわせて

0≦a≦1

(ii)
touhoku2009bu1_2.jpg

もう一つは軸t=-a/8がt>0に入るとき、つまり-a/8>0⇔a<0の時

これはy=f(t)の最小値が頂点のf(-a/8)だから

f(-a/8)>0⇔(-a^2-16a+16)/16>0

-8-4√5<a<-8+4√5

であればオッケーやな。


今度は-a/8はt>0に入るから、0より大きくなければならないねん。


後一つ注意せなあかんのは

-a/8≧0つまりa≦0の時って場合わけしたら、

軸-a/8が0の時はt>0に軸は入らないからf(-a/8)≧0で
-a/8がが0より大きいときはf(-a/8)>0

って具合悪くなることにも注意してくれ。


結局a<0とあわせて

-8-4√5<a<0

(i),(ii)から

-8-4√5<a<0または0≦a≦1



-8-4√5<a≦1


簡単な問題に見えて端点が入るとか入らないとか気をつけなあかん問題やったな。

東北大学の入試の数学の過去問の解説




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