受験数学わんこらスクール
京大理学部で数学をやったわんこらが中学生や高校生、受験生に数学の公式や問題を解説します。

期待値で根元事象で計算すると上手くいく問題
ちょっとFF13にはまりすぎて、久しぶりに数学の記事を書くことにするか。


今回は確率の期待値の計算の仕方について、根元事象で計算すると上手くいく場合があるのを一緒にお勉強したい思います。


問題は立教大学2008年からの出題です。


[問題]
090112m1.jpg

袋の中に、赤2個、白3個のさいころが入っている。この袋の中からさいころを取り出して投げ、出た目を調べる。赤いさいころのときは出た目を2倍したものを得点とし、白いさいころのときは出た目がそのまま得点であるとする。このとき、次の(i)~(iv)に答えよ。

(i)1個を取り出して投げるとき、そのさいころが赤で、出た目が1または2である確率を求めよ。

(ii)1個を取り出して投げるとき、得点の期待値を求めよ。

(iii)同時に2個のさいころを取り出すとき、2個のさいころが、ともに赤である確率p,赤と白である確率q,ともに白である確率rをそれぞれ求めよ。

(iv)同時に2個のさいころを取り出して投げるとき、得点の和の期待値を求めよ。



[解答と解説]
(i)
090112m2.jpg

まず赤の目を取り出す確率が2/5

その取り出したさいころを振って出た目が1または2になる確率は2/6

だから求める確率は

2/5×2/6=2/15

これは大丈夫やな。


(ii)
090112m3.jpg

さあて、期待値を求めるか。

まず1点になるのは赤は出た目の2倍で白はそのままやったから白の目が1の時でその確率は白い目を取り出すのは3/5やから

3/5×1/6=1/10

2点になるのは白の目が2の時と赤の目が1の時だから

2/5×1/6+3/5×1/6=5/30=1/6

3点になるのは白の目が3の時で

3/5×1/6=1/10



って12点までやるころには

090112m4.jpg

こういう何らかのパイプの中に入ることになります。


どういう意味やねん!


まあちょっと根気あれば出来るけど、(iv)みたいにさいころが2個になってくるとこのやり方ではめちゃめちゃ大変やねんな。

そこで今日覚えて欲しいのが

090112m5.jpg

得点ごとに確率を出すのではなく、根元事象で期待値を求める!

です。

根元事象とはそれ以上細かく分けられない事象のことやったな。



090112m6.jpg

実際にやってみるとこの問題では、kを1から6までの自然数として

赤のさいころを取り出してkの目が出る事象

白のさいころを取り出してkの目が出る事象

が根元事象で確率と得点は

赤のさいころを取り出してkの目が出る事象は

確率…2/5×1/6
得点…2k

白のさいころを取り出してkの目が出る事象は

確率…3/5×1/6
得点…k

と簡単にわかって期待値も

Σ(k=1~6)2/5×1/6×2k+Σ(k=1~6)3/5×1/6×k
=7/(5・6)・Σ(k=1~6)k
=7/(5・6)・(6・7)/2
=49/10

と簡単なΣ計算で出てきます。


こうやって根元事象ごとに確率と得点を計算して期待値を求めると、かなり簡単になる場合があるのでこれを一つの選択肢に入れておいてください。


(iii)
090112m7.jpg

確率やから赤いさいころ2個とか白いさいころ3個は別々のさいころと考えなあかんかって
さいころを2個取り出す方法は5C2通り
2個とも赤である方法は2C2通り

よってp=2C2/5C2=1/10


さいころを2個取り出す方法は5C2通り
1個か赤、1個か白の取り出し方は2C1・3C1通り

よってq=2C1・3C1/5C2=3/5


さいころを2個取り出す方法は5C2通り
2個とも白の取り出し方は3C2通り

よってr=3C2/5C2=3/10

(iv)この期待値の計算を普通にやれば、かなりややこしいけど根元事象で計算すればただのΣ計算になります。

赤いさいころが2個で出て、kの目とlの目が出たとき

確率はp×1/36、得点は2k+2l


赤いさいころと白いさいころが1個ずつ、赤のkの目と、白のlの目が出たとき

確率はq×1/36、得点は2k+l


白いさいころが2個ずつ、kの目とlの目が出たとき

確率はr×1/36、得点はk+l

よって期待値は

Σ(k=1~6)Σ(l=1~6){p×1/36・(2k+2l)+q×1/36・(2k+l)+r×1/36・(k+l)}
=1/(10・36)・Σ(k=1~6)Σ(l=1~6)(17k+11l)
=1/(10・36)・Σ(k=1~6)(16・6k+11・1/2・6・7)
=1/(10・36)・(17・6・1/2・6・7+11・1/2・6・7・6)
=49/5


でもこれはさいころ1個当たりの期待値が(ii)から49/10やったから2個では49/10+49/10=49/5って計算せんでもすぐにわかるねんけどな。

高校数学の公式や問題の解説




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