受験数学わんこらスクール
京大理学部で数学をやったわんこらが中学生や高校生、受験生に数学の公式や問題を解説します。

センター試験数学1Aの2010年の第1問、数と式、集合と論理の問題の解説
今年もセンター試験がはじまった秋の夕暮れって感じですね。


センター試験数学1A、2010年度の第一問の数と式、集合と論理の問題の解説をします。


[問題]
第1問

[1]α=(√7-√3)/(√7+√3)とする。αの分母を有理化すると

α=([ア]-√[イウ])/[エ]

となる。
2次方程式6x^2-7x+1=0の解は
x=[オ]/[カ],[キ]
である。

次の(0)~(3)のうち最も小さいものは[ク]である。

(0)([ア]-√[イウ])/[エ]
(1)[エ]/([ア]-√[イウ])
(2)[オ]/[カ]
(3)[キ]


[2]次の[ケ]~[サ]に当てはまるものを、下の[0]~[3]のうちから一つずつ選べ。ただし、同じものを繰り返し選んでもよい。また、[シ]に当てはまるものを、下の[4]~[7]のうちから一つ選べ。

自然数nに関する条件p,q,r,sを次のように定める。
p:nは5で割ると1余る数である
q:nは10で割ると1余る数である
r:nは奇数である
s:nは2より大きい素数である

また、条件rの否定をr~,条件sの否定をs~で表す。このとき「pかつr」はqであるための[ケ]。
r~はs~であるための[コ]。
「pかつs」は「qかつs」であるための[サ]。

(0)必要十分条件である
(1)必要条件であるが、十分条件でない
(3)十分条件であるが、必要条件でない
(3)必要条件でも十分条件でもない

自然数全体の集合Uとし、条件pを満たす自然数全体の集合をP,条件rを満たす自然数全体の集合をR,条件sを満たす自然数全体の集合をSとすると、P,R,Sの関係を表す図は[シ]である。

cen20101a11.jpg


[解答と解説]
cen20101a12.jpg
[1]
(a-b)(a+b)=a^2-b^2を使って分母を有理化すると

α=(√7-√3)/(√7+√3)
=(√7-√3)^2/((√7+√3)(√7-√3))
=(7-2√21+3)/(7-3)
=(10-2√21)/4
=(5-√21)/2

はい、いいですね。


2次方程式6x^2-7x+1=0の解は因数分解して

(6x-1)(x-1)=0
より

x=1/6,1


それで

α,1/α,1/6,1

でどれが最小かと言うことやけど、1/6と1は1/6の方が小さいことは白目むいててもわかって、αと1/αはあれやろ。

αは正やから、1より大きいとαの方が大きいし、1より小さいとαの方が小さいやろ。


まあそれを意識して

4=√16<√21<√25=5
だから
0=5-5<5-√21<5-4=1

よって
0<(5-√21)/2<1/2

だからα<1/2やからα<1/α

後はαと1/6どっちが小さいかってことがわかればええから

α-1/6=(5-√21)/2-1/6
=(14-3√21)/6
=(√196-√189)/6>0

だからα>1/6で1/6が一番小さいとわかりました。


こうやってセンターでは根号が入った値の大小関係の処理をだいたい毎回求めてくるから処理の仕方を覚えていってください。


[2]
「pかつr」はqであるための[ケ]

これを求めるには、「pかつr」⇒qは成り立つかどうか、q⇒「pかつr」は成り立つかどうかを考えていきます。

「pかつr」⇒q

を考えるには「pかつr」と言う条件を数式化していって、まずpからkを0以上の整数として

n=5k+1

と表せます。

そして、さらにn=5k+1がrの奇数であるためには5k=n-1とするとn-1は偶数だから5kも偶数で5は奇数だからkは偶数でないといけません。

だからlを0以上の整数としてk=2lとあらわせて

「pかつr」は式であらわすとn=10l+1となります。

これはnは10で割ると1余る自然数であることと同値です。

だから
「pかつr」⇔q
とわかりました。


⇒の向きを二つ調べなくても、式にあらわしたらわかってしまったと言う感じやな。



r~はs~であるための[コ]。

まず
r~⇒s~

は成り立つかどうか考えると

r~はnは奇数でない、つまりnは偶数ってことです。

sは「2より大きい素数」ってことですが具体的には3,5,7,11,13,17,19,…って数です。

全部偶数ですね。

だからs~の「2より大きい素数」でない条件は具体的に書くと1,2,4,6,8,9,10,12,14,15,16,18,20,…

で全部偶数が入ってます。

だからr~⇒s~は成立してます。


次に
s~⇒r~
は成り立つかどうか考えると

s~は具体的に1,2,4,6,8,9,10,12,14,15,16,18,20,…やったからn=1がs~であるが、奇数だからr~じゃなくて反例になっているから、これは成立しません。


よって
r~⇒s~

だけが成り立ってr~は⇒の左側だから十分条件であって、必要条件でないとわかります。


「pかつs」は「qかつs」であるための[サ]。

「pかつs」⇒「qかつs」が成り立つかどうか考えると

nは5で割ると1余る数であって、2より大きい素数です。

2より大きい素数は3,5,7,11,13,17,19,…と言うように全部奇数だから、「pかつr」⇔qだったので
「pかつs」ならばqでもある、つまりnは10で割ると1余る数でもあります。

しかもpかつsだから当然nは2より大きい素数です。

よって「pかつs」⇒「qかつs」は成り立ちます。


「qかつs」⇒「pかつs」

が成り立つかどうかは、ほとんど当たり前でnは10で割ると1余る数であって2より大きい素数ならば、そらnは5で割ったあら1余る数で2より大きい素数です。

つまり

「qかつs」⇔「pかつs」

で必要十分条件になります。


最初の選択で必要十分条件が出てきたから、ちょっと不安になるけどな。


最後に条件pを満たす自然数全体の集合をP,条件rを満たす自然数全体の集合をR,条件sを満たす自然数全体の集合をSとして、P,R,Sの関係を求めろってことですが、

cen20101a11.jpg

選択肢を見るとPとRがそのままでSの位置が違います。

そこでsの条件は具体的には3,5,7,11,13,17,19,…でしたが11は5で割ると1余るからPとSは交わってるはずで、
sは全部奇数だからSはRの中に入ってるはずです。

両方交わりがあるのは、(4)と(5)です。

(4)と(5)のうちSがRの中に入ってるのは(5)の方です。

だから(5)が正解です。

センター試験の過去問の解説




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