受験数学わんこらスクール
京大理学部で数学をやったわんこらが中学生や高校生、受験生に数学の公式や問題を解説します。

センター試験数学1Aの2010年度の第二問、二次関数の問題の解説
何も心配することがない馬乗りになった少年やな。


センター試験数学1Aの2010年度第2問、2次関数の問題を解説します。

[問題]
a,bを実数とし、xの二つの2次関数
y=3x^2-2x-1…①
y=x^2+2ax+b…②
のグラフをそれぞれG1,G2とする。
以下では、G2の頂点はG1上にあるとする。
このとき
b=[ア]a^2+[イ]a-[ウ]
であり、G2の頂点の座標をaを用いて表すと
(-a,[エ]a^2+2a-[オ])
となる。

(1)G2の頂点のy座標は,a=[カキ]/[ク]のとき、最小値[ケコ]/[サ]をとる。
a=[カキ]/[ク]のとき、G2の軸は直線x=[シ]/[ス]であり、G2とx軸との交点のx座標は
([セ]±[ソ]√[タ])/[チ]
である。

(2)G2が点(0,5)を通るとき、a=[ツ],[テト]/[ナ]である。
a=[ツ]のとき、G2をx軸方向に[ニ],y軸方向にも同じく[ニ]だけ平行移動しても頂点はG1上にある。ただし、[ニ]は0でない数とする。


[解答と解説]
G2の頂点はG1上にあるってことやから、G2を平方完成して
y=(x+a)^2+b-a^2
で頂点(-a,b-a^2)やからこれを①に代入して成り立てばよくて
b-a^2=3a^2+2a-1⇔b=4a^2+2a-1
よって頂点にも代入して
(-a,3a^2+2a-1)
まあ①にx=-a代入でもええねんけどな。

(1)G2の頂点のy座標の最小値を求めるには平方完成して
3a^2+2a-1=3(a+1/3)^2-4/3
だからa=-1/3の時、最小値-4/3をとる。

図形的に考えれば
G1:y=3(x-1/3)^2-4/3
でG1上にある点(-a,3a^2+2a-1)のy座標が最小になるのは、G1の頂点に来た時だからa=-1/3のとき最小値-4/3になると言うことになってます。

だからa=-1/3の時の②の式は

y=(x-1/3)^2-4/3
=(x-1/3-2/√3)(x-1/3+2/√3)
=(x-(1+2√3)/3)(x-(1-2√3)/3)

だからG2とx軸との交点のx座標は

x=(1±2√3)/3

まあもっと解の公式を使ってぶーわー計算してもええねんけど、センターは早く正確な値を出していかなあかんからこういうところで差がついてくるねんな。

たぶんな。

いや、どうなんやろなこれ。

でも解の公式は平方完成をして求めたわけやねんから、それを平方完成されてる式を展開してから解の公式を使ってたらやってることが二度手間なわけやねんな。

(2)
G2が点(0,5)を通るからy=x^2+2ax+bより5=bです。

だからb=4a^2+2a-1から
5=4a^2+2a-1⇔4a^2+2a-6=0⇔(2a+3)(a-1)=0
からa=1,-3/2

a=1のとき、G2をx軸方向に[ニ],y軸方向に同じ[ニ]平行移動しても頂点はG1上にあるってことやから、G2の頂点(-a.3a^2+2a-1)=(-1,4)を平行移動してもG1にあればよくてx軸方向にもy軸方向にもc平行移動したとすると頂点は
(-1+c,4+c)
これがG1上にあるには①に代入して成り立てばよくて
4+c=3(-1+c)^2-2(-1+c)-1

3c^2-9c=0

c(c-3)=0

よってcは0じゃないからc=3です。

センター試験の過去問の解説




テーマ:算数・数学の学習 - ジャンル:学校・教育

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