受験数学わんこらスクール
京大理学部で数学をやったわんこらが中学生や高校生、受験生に数学の公式や問題を解説します。

センター試験数学1A2010年度の第3問、三角比の図形と計量の問題の解説
スキーしにいったつもりが、提灯持って墓参りしてたときの気分やな。

さてセンター試験数学1A2010年度の第3問の三角比の図形と計量の問題の解説いっときます。


[問題]
△ABCをAB=3,BC=4,CA=5である直角三角形とする。

(1)△ABCの内接円の中心をOとし、円Oが3辺BC,CA,ABと接する点をそれぞれP,Q,Rとする。このとき,OP=OR=[ア]である。また,
QR=([イ]√[ウ])/[エ]であり、sin∠QPR=([オ]√[カ])/[キ]である。

(2)円Oと線分APとの交点のうちPと異なる方をSとする。このとき,AP=√[クケ]であり,SP=([コ]√[サシ])/[ス]である。また,点Sから辺BCへ垂線を下ろし、垂線とBCとの交点をHとする。このとき
HP=[セ]/[ソ],SH=[タ]/[チ]
である。したがって,tan∠BCS=[ツ]/[テ]である。

(3)円O上に点Tを線分RTが円Oの直径となるようにとる。このとき,tan∠BCT=[ト]/[ナ]である。よって,∠RSC=[ニヌ]°であり、∠PSC=[ネノ]°である。


[解答と解説]
cen20101a31.jpg

(1)円Oは△ABCの内接円で、OP=ORは内接円の半径なわけやから内接円の半径を求めたらええわけやな。

これは、オナラしたらうんこが出てトイレに行って拭いたら意外にもパンツは無事やったぐらいよくあることや。

内接円の半径はr=AB・BC/(AB+BC+CA)=1


公式ですぐ出るけどちょっと説明すると

△ABC=△OAB+△OBC+△OAC

って三つの三角形に分けて面積の関係で方程式を立てます。

△ABCの面積は直角三角形やから1/2×AB×BC=12/2って簡単に出せて、内接円の半径をrとするとrは△OAB,△OBC,△OACの高さになっていて
△OAB=1/2×r×AB=3r/2
△OBC=1/2×r×BC=4r/2
△OAC=1/2×r×AC=5r/2
だから
12/2=3r/2+4r/2+5r/2

12=(3+r+5)r

r=12/(3+4+5)=1

QRの長さは、QRを含む適当な三角形の△AQRに注目するとcos∠CABは△ABCは直角三角形やからcos∠CAB=AB/AC=3/5ってすぐにわかります。

後はAQとARがわかればQRがわかるはずですが、AQとARの長さは内接円の問題でよく計算させられたように値が出るはずやからいけるはずです。

それでその求め方は
AQ=AR=x,CQ=CP=y,BR=BP=zとおいて
x+z=AB=3…①
x+y=AC=5…②
y+z=BC=4…③
これでx,y,zが求まりますが、簡単に求める方法があってこの形はまず全部辺々たすと

①+②+③:
2(x+y+z)=12⇔x+y+z=6…④

これで
④-①からy=3,④-②からz=1,④-③からx=2と求まります。

と言うやり方です。

だがしかし一般的にこのやり方ですが、この問題ではこんなことやらなくても四角形OPBRは正方形でOP=OR=1やったからz=1とすぐにわかってx=3-1=2,y=4-1=3もっと早くわかります。

よって△AQRで余弦定理を使って

QR=√(2^2+2^2-2・2・2・3/5)
=(4√5)/5

後はsin∠QPRを求めろってことやけど、QRの長さを求めさせられてこれは△QPRで言うと∠QPRと向かいになってる辺の長さやから正弦定理ではないかって予想がたってきます。

それで円Oは内接円やけど、△QPRについては外接円になってるからさっき求めた半径の長さが外接円の半径です。

これで求まるな。


QR/sin∠QPR=2・1⇔sin∠QPR=QR/2=(2√5)/5


(2)
cen20101a32.jpg

APの長さか…。
これはBPの長さが1やったから三平方の定理やな。

AP=√(3^2+1^2)=√10

SPの長さか…
これはどうしたらええんや。


わからん、わからん。

ふるえ~!!って横の人に消しゴム投げつけることによくなりますが一回落ち着きましょう。


思えば接線と円とこれば意外と接弦定理を使ったな。

SPを出したいわけやから弦SPに注目して接弦定理から
∠SPB=∠SQP

sin∠SPB=AB/AP=3/√10

あ、これで△QRPでSPと向かいあう∠SQPの正弦の値がわかったから正弦定理でSPの長さがわかるわ。

SP/sin∠SQP=2・1

SP=2×3/√10=(3√10)/5


次はHPとSHは△SPHは直角三角形でsin∠SPBの値をわかってるから

cos∠SPB=√(1-(3/√10)^2)
=1/√10

だから
HP=SPcos∠SPB
=3/5

SH=SPsin∠SPB
=9/5

tan∠BCSはSHとHPの長さを求めさせられたからHCの長さが求まって△CSHは直角三角形やからこれでtan∠BCSは求まるな。

HC=HP+PC=3/5+3=18/5

だからtan∠BCS=HS/HC=1/2


(3)
cen20101a33.jpg

なんか図を書くとSCと円Oとの交点がTになってそうな感じがするけど、tan∠BCTを求めろか。

RTの長さは直径やから2やねんけどな。

だからこれを使うはずで∠BCTを含む適当な三角形はないか考えるとTから、BCに垂線TH'を引いて△CTH'を考えれば

TH'=1
H'C=BC-BH'=4-2=2

これでtan∠BCT=TH'/H'C=1/2


これはtan∠BCSと同じ値やから、SCと円Oとの交点がTと言う予想が当たってたと言うことでこれを示す誘導やったみたいやな。

だから∠RSCは直径RTに対する円周角やから90°

∠PSCは∠RSCを求めさせられたってことは、恐らく∠PSRを求めて∠PSC=∠RSC-∠PSRで求めろってことなんやろな。


これは∠ROP=90°やから円周角は中心角の1/2より∠PSR=90°/2=45°ってすぐに求まるから

∠PSC=90°-45°=45°


結構ごちゃごちゃとややこしい問題やけど、使うことは直角三角形とか単純なことが多い感じでした。

センター試験の過去問の解説




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