受験数学わんこらスクール
京大理学部で数学をやったわんこらが中学生や高校生、受験生に数学の公式や問題を解説します。

センター試験数学1A2010年度の第4問、場合の数と確率の問題の解説
狼が嘘ついた時の僕の生きる道って言う物語を読むか。

またわけわからんものを読みだしたか。


センター試験2010年度数学1Aの題四問の場合の数と確率の問題を解説します。

[問題]
袋の中に赤玉5個、白玉5個、黒玉1個の合計11個の玉が入っている。赤玉と白玉にはそれぞれ1から5までの数字が一つずつ書かれており、黒玉には何も書かれていない。なお、同じ色の玉には同じ数字は書かれていない。この袋から同時に5個の玉を取り出す。

5個の玉の取り出し方は[アイウ]通りある。

取り出した5個の中に同じ数字の赤玉と白玉の組が2個あれば得点は2点,1組だけあれば得点は1点,1組もなければ得点は0点とする。

(1)得点が0点となる取り出し方のうち、黒玉が含まれているのは[エオ]通りであり、黒玉が含まれていないのは[カキ]通りである。
得点が1点となる取り出し方のうち、黒玉が含まれているのは[クケコ]通りであり、黒玉が含まれていないのは[サシス]通りである。

(2)得点が1点である確率は[セソ]/[タチ]であり、2点である確率は[ツ]/[テト]である。
また,得点の期待値は[ナニ]/[ヌネ]である。


[解答と解説]
5個の玉の取り出し方は11C5=462通り
これが計算間違いしたら、もうそれは翼を無くしたモンスターみたいなもんかもしれんな。

どういう意味やねん。

(1)得点が0になる取り出し方のうち、黒玉が含まれているってことはまず

白白白白黒…白玉が4個の場合は5C4通り

白白白白黒…白玉が3個の場合は白玉の選び方は5C3通りでもう1個赤玉を取らなあかんから白玉の3個の数字と違うものは2個あってそのうちの1個を選ぶから2C1通りで5C3・2C1=20通り…

とやっていってもええねんけど、たぶんぐちゅぐちゅ~って隅っこに計算してる途中で

試験監督「はい、終わってください」

ってなってマークシートを回収しに着たときに泣きそうになりがら

「出さへん、オレ出さへん」

って言うことになります。

こういうやつ教室に一人はおるからな。


そこで次の[カキ]の黒玉が含まれていないのは0点になるには白玉と赤玉を5個入れて全部数字が違うわけやから

1,2,3,4,5

って1~5の数字全部入って、後はその数字の玉が白と赤の2通りずつあるから
2^5=32通りってすぐに出ますやん。


と言うことは、どうも

白白白赤黒

のように白玉とか赤玉の個数で分けるんじゃなくて、まず

11235

とかどの数字が入るかを考えてから白とか赤とか色を考えたら計算速いんちゃうか。

と言うことで得点が0になる取り出し方のうち、黒玉が含まれているものは異なる数字は4つ入るから数字の選び方が5C4=5通り。
後はその4つの玉が白と赤の2通りずつで
5×2^4=80通り

簡単に早く出たな。


得点が1点になるもので黒玉が含まれるのは

同じ数字が1組あるから、その数字の選び方は5C1=5通り。
後は数字が2ついるから、残りの数字4つから2つ選んで4C2=6通り。
その2つの数字は赤か白かの2通りずつあるから
5×6×2^2=120通り

次に得点が1点になるもので黒玉を含まないのは

同じ数字が1組あるから、その数字の選び方が5C1=5通り。
後は数字が3ついるから、残りの数字4つから3つ選んで4C3=4通り。
その3つの数字は赤か白かの2通りずつあるから
5×4×2^3=160通り

(2)得点が1点である確率はもう1点になるのは何通りか求めたから
(120+160)/462=20/33

2点になるのは、ここまでの流れを見ると

0点になるのが32+80=112通りやって
1点になるのは120+160=280
全体で462通り

と言うことは
2点は462-112-280=70通り

だから確率は
70/462=5/33

まあセンターはこうやって期待値を求める流れのときに、残りは補集合とか余事象でわかることが多いです。
ただ普通に計算しても

2点になるのは黒玉を含む場合、同じ数字が2組あるから、その数字2つの選び方は5C2=10通りで赤と白は決まってしまっていて

黒玉を含まない場合は、同じ数字が2組あるから、その数字2つの選び方は5C2=10通りで,
残りの1つの玉の数字は残りの数字3つから1つ選んで3C1=3通り、後はそれが赤と白の2通りで
10×3×2=60

よって10+60=70通りと言うように直接出しても、大した労力の差はありません。

まあ実際には補集合で出しても直接出しても同じやから答えは恐らく正しいと言うように検算に使うねんけどな。


最後に期待値を出して

20/33×1+5/33×2=30/33=10/11


だから、まず数字を選ぶと言うやり方をやればめちゃ簡単な問題で、色を先に選ぶやり方をすれば結構ややこしいと言う問題でした。

こういう処理の仕方をたくさん覚えていくことで、色々な問題に対処しやすくなってくると思います。

センター試験の過去問の解説




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