受験数学わんこらスクール
京大理学部で数学をやったわんこらが中学生や高校生、受験生に数学の公式や問題を解説します。

センター試験数学2B、2010年度の第一問、対数関数と三角関数の問題の解説
今日は中華料理を食べたけど、まああれやったわ。


センター試験数学2B、2010年度の第1問の対数関数と三角関数の問題の解説をします。

[問題]
[1]連立方程式
(*)
xy=128…①
1/log_2(x)+1/log_2(y)=7/12…②
を満たす正の実数x,yを求めよう。ただし,x≠1,y≠1とする。①の両辺を2を底とする対数をとると
log_2(x)+log_2(y)=[ア]
が成り立つ。これと②より
(log_2(x))(log_2(y))=[イウ]
である。

したがって,log_2(x),log_2(y)は2次方程式
t^2-[エ]t+[オカ]=0…③
の解である。③の解はt=[キ],[ク]である。ただし,[キ]と[ク]は解答の順序を問わない。よって,連立方程式(*)の解は(x,y)=([ケ],[コサ])または(x,y)=([コサ],[ケ])である。

[2]0<θ<π/2の範囲で
sin4θ=cosθ…①
を満たすθとsinθの値を求めよう。

一般に,すべてのxについて
cosx=sin([シ]-x)
である。[シ]に当てはまるものを,次の(0)~(2)のうちから一つ選べ。
(0)π (1)π/2 (2)-π/2
したがって、①が成り立つとき、sin4θ=sin([シ]-θ)となり,0<θ<π/2の範囲で4θ,[シ]-θのとり得る値の範囲を考えれば,4θ=[シ]-θまたは4θ=π-([シ]-θ)となる。よって,①を満たすθはθ=π/[ス]またはθ=π/[セソ]である。

sinπ/[ス]=[タ]/[チ]である。sinπ/[セソ]の値を求めよう。①より
[ツ]sin2θcos2θ=cosθ
となり,この式の左辺を2倍角の公式を用いて変形すれば
([テ]sinθ-[ト](sinθ)^3)cosθ=cosθ
となる。ここでcosθ>0であるから
[ト](sinθ)^3-[テ]sinθ+1=0…②
が成り立つ。sinθ=[タ]/[チ]は②を満たしている。θ=π/[セソ]とすると,sinθ≠[タ]/[チ]であるから
[ナ](sinθ)^2+[ニ]sinθ-1=0
となる。ここで,sinπ/[セソ]>0より
sinπ/[セソ]=([ヌネ]+√[ノ])/[ハ]
である。


[解答と解説]
[1]①の両辺で2を底とすると128=2^7やから
log_2(xy)=log_2(2^7)

log_2(x)+log_2(y)=7

②を通分すると
(log_2(x)+log_2(y))/{(log_2(x))(log_2(y))}=7/12
分子にlog_2(x)+log_2(y)=7を代入して

7/{(log_2(x))(log_2(y))}=7/12

(log_2(x))(log_2(y))=12

ここまで出来たら、とりあえずはドリームポンポンやな。

どういう意味やねん。


log_2(x)とlog_2(y)の和は7、積は12なわけやから解と係数の関係よりlog_2(x)とlog_2(y)は次の二次方程式の解になります。

t^2-7+12=0…③

これを因数分解して解くと

(t-3)(t-4)=0

よりt=3,4

だから(log_2(x),log_2(y))=(3,4),(4,3)で3=log_2(2^3),4=log_2(2^4)だから
(x,y)=(2^3,2^4),(2^4,2^3)
=(8,16),(16,8)

[2]
sin4θ=cosθとこれば、どっちもsinに変形して角度を比べます。

だからcosをsinに変形したいとこやけど、これは問題の誘導にあるように一般にすべてのxについて

cosx=sin(π/2-x)
が成り立ちます。

ああ、A=π/2の直角三角形ABCでcosB=AB/BC=sinCでC=π/2-Bやったなって一々流れを覚えててもええねんけど、こんなんちゃんと身体で覚えてスパンスパンに使っていって下さいね。


それで
sin4θ=sin(π/2-θ)になって、角度を比べるわけやけどそのままやってしまえば
4θ=π/2-θ+2nπ
4θ=π-(π/2-θ)+2nπ
って整数nを使って表さなあかんことなるけどけど、θには0<θ<π/2って範囲があったから

0<4θ<2π,0<π/2-θ<π/2


4θ=π/2-θまたは
4θ=π-(π/2-θ)

って決まってこれを解いて
θ=π/6,π/10

まずsinπ/6=1/2
これは眼球に何らかの圧力をかけられててもわかるな。

それでsinπ/10を求めよってことで、sinπ/10が解になるような方程式を考えて解いていきます。

sin2x=2sinxcosxから①より
sin4θ=cosθ

2sin2θcos2θ=cosθ

さらに2倍角を使ってバラしていくねんけど、次の式の

([テ]sinθ-[ト](sinθ)^3)cosθ=cosθ

を見ると、cos2θはどうもsinθの式に変形するべきみたいでcos2θ=1-2(sinθ)^2から

2sin2θcos2θ=cosθ

2・2sinθcosθ(1-2(sinθ)^2)=cosθ

(4sinθ-8(sinθ)^3)cosθ=cosθ

ここでcosθ>0つまり0でないから両辺をcosθで割って

4sinθ-8(sinθ)^3=1

8(sinθ)^3-4sinθ+1=0…②

sin4θ=cosθの解はθ=π/6,π/10やったからこれはsinπ/6=1/2も解に持つはずで実際②に代入していると成立してます。

だから(2sinθ-1)を因数に持つはずで8(sinθ)^3-4sinθ+1を2sinθ-1で割って

8(sinθ)^3-4sinθ+1=0

(2sinθ-1)(4(sinθ)^2+2sinθ-1)=0

θ=π/10の時はsinθ≠1/2やから2sinθ-1≠0で2sinθ-1で割ってよくて

4(sinθ)^2+2sinθ-1=0

これで二次方程式の解の公式から

sinθ=(-1±√5)/4

やけどsinπ/10>0やからsinθ=(-1+√5)/4です。


ご苦労様でした。

センター試験の過去問の解説




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