受験数学わんこらスクール
京大理学部で数学をやったわんこらが中学生や高校生、受験生に数学の公式や問題を解説します。

センター試験数学2B、2010年度の第2問、微分積分の問題の解説
今日もどさえていこか。

それどこの方言やねん。


センター試験数学2B、2010年度の第2問の微分積分の問題の解説です。

[問題]
kを次数とし、座標平面上に点P(1,0)をとる。曲線
y=-x^3+9x^2+kx
をCとする。

(1)点Q(t,-t^3+9t^2+kt)における曲線Cの接線が点Pを通るとすると
-[ア]t^3+[イウ]t^2-[エオ]t=k
が成り立つ。
p(t)-[ア]t^3+[イウ]t^2-[エオ]t
とおくと,関数p(t)はt=[カ]で極小値[キク]をとり,t=[ケ]で極大値[コ]をとる。
したがって,点Pを通る曲線Cの接線の本数がちょうど2本となるのは,kの値が[サ]または[シス]のときである。また,点Pを通る曲線Cの接線の本数はk=5のとき[セ]本,k=-2のとき[ソ]本,k=-12のとき[タ]本となる。

(2)k=0とする。曲線
y=-x^3+6x^2+7x
をDとする。曲線CとDの交点のx座標は[チ]と[ツ]/[テ]である。
-1≦x≦2の範囲において、2曲線C,Dおよび2直線x=-1,2で囲まれた二つの図形の面積の和は[トナ]/[ニ]である。


[解答と解説]
(1)ある点を通る接線は何本引けるかと言うよくある問題ですね。

まずは接点Q(t,-t^3+9t^2+kt)をおいて点Qにおける接線は
y'=-3x^2+18x+k
より
y=(-3t^2+18t+k)(x-t)-t^3+9t^2+kt
=(-3t^2+18t+k)x+2t^3-9t^2

これが点P(1,0)を通るから代入して
0=(-3t^2+18t+k)+2t^3-9t^2

k=-2t^3+12t^2-18t

それで
p(t)=-2t^3+12t^2-18t
と置くと。
これは定数分離で解いていくと言わんばかりやな。

だからp(t)のグラフを調べようとして、まず微分して

p'(t)=-6t^2+24t-18
=-6(t^2-4t+3)
=-6(t-1)(t-3)

それでグラフから、t=1で極小値p(1)=-8
t=3で極大値p(3)=0をとります。

cen20102b21.jpg

これでs=p(t)のグラフを書いてs=kとの共有点の個数がk=-2t^3+12t^2-18tの解の個数でtの解の個数だけ、それに対応した接線があります。

ちなみに三次関数なのでtの値は違うが接線は同じなると言うことはなくてtの値と接線の個数は1対1に対応してます。
もしある三次関数f(x)がt1とt2(t1≠t1)で接する接線g(x)が存在したら、f(x)-g(x)は(x-t1)^2(x-t2)^2で因数分解できるはずで4次以上になっていますよね。

まあセンター中にこんなん考えてたら、それはもうあれやけどな。

ドストエフスキーの人間失格を持ってトイレに入って、もう二度と出てくることはなかった…と言う感じやな。


それでs=p(t)のグラフを書いてみると、s=kとの共有点の個数がちょうど2個になるのはk=0とk=-8です。
だからここがちょうど2本。

それでk=5のとこでは共有点1個で1本、k=-2のときは共有点3個で3本、k=-12のときは共有点1個で1本です。


(2)
k=0としてるからCは
y=-x^3+9x^2
それでCとDの交点はDは
y=-x^3+6x^2+7x
やからy消去してと言いたいけど、面積を求めるから関数の引き算を考えると大小関係までわかるから便利でCからDを引いたのは
(-x^3+9x^2)-(-x^3+6x^2+7x)=3x(x-7/3)

だからx=0,7/3が交点のx座標ですわ。

それで-1≦x≦2の範囲において、2曲線C,Dおよび2直線x=-1,x=2で囲まれた二つの図形の面積の和を求めろか。

cen20102b22.jpg

なんでこんなわけわからんとこの面積を求めさせてるんかがわからん。

大小関係は-1≦x≦0では(-x^3+9x^2)≧(-x^3+6x^2+7x)で0≦x≦2では(-x^3+9x^2≦-(-x^3+6x^2+7x)で
∫3x(x-7/3)dx=x^3-7x^2/2+A(Aは積分定数)
だから求める面積は

∫(-1,0){(-x^3+9x^2)-(-x^3+6x^2+7x)}dx
+∫(0,2){(-x^3+6x^2+7x)-(-x^3+9x^2)}dx
=[x^3-7x^2/2](-1,0)+[-x^3+7x^2/2](0,2)
=9/2+6=21/2

よし、ここまでよう頑張った。

センター試験の過去問の解説




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