受験数学わんこらスクール
京大理学部で数学をやったわんこらが中学生や高校生、受験生に数学の公式や問題を解説します。

センター試験数学2B、2010年度の第3問、数列の問題の解説
今からドラえもんとしばきあいしてもらいます。


センター試験2010年度数学2Bの第3問の数列の問題の解説をします。

[問題]
自然数の列1,2,3,4,…を,次のように群に分ける。
   1|2,3,4,5|6,7,8,9,10,11,12|…
第1群 第2群 第3群

ここで,一般に第n群は(3n-2)個の項からなるものとする。第n群の最後の項をa_nで表す。

(1)a_1=1,a_2=5,a_3=12,a_4=[アイ]である。

a_n-a_(n-1)=[ウ]-[エ] (n=2,3,4,…)
が成り立ち
a_n=[オ]/[カ]・n^[キ]-[ク]/[ケ]・n (n=1,2,3,…)
である。
よって,600は,第[コサ]群の小さい方から[シス]番目の項である。

(2)n=1,2,3,…に対し,第(n+1)群の小さい方から2n番目の項をb_nで表すと
b_n=[セ]/[ソ]・n^[タ]+[チ]/[ツ]・n
であり
1/b_n=[テ]/[ト]・(1/n-1/(n+[ナ]))
が成り立つ。これより
Σ(k=1~n)1/b_k=[ニ]n/([ヌ]n+[ネ]) (n=1,2,3,…)

となる。

[解答と解説]
群数列ネタとかベタベタなんが出てきたな。

群数列はだいたい第n群の1番目は全体で何項目なのかを出すと上手くいくねんけど、この問題では第n群の最後の項をa_nとしてこれを求めさせてるみたいやです。

(1)a_3=12より3群目の最後の項のは全体で12項目で4群は(3・4-2)=10項あるから4群目の最後の項は全体で
12+10=22項目
だからa_4=22です。

同様にして第n群は(3n-2)項あって第n-1群の最後の項は全体でa_(n-1)項目だから第n群の最後の項は全体で
a_(n-1)+(3n-2)項目
よって
a_n=a_(n-1)+(3n-2)
⇔a
a_n-a_(n-1)=3n-2

よって階差数列だからn≧2の時
a_n=a_1+Σ(k=2~n)(3k-2)
=Σ(k=1~n)(3k-2)
=1/2・n・(1+(3n-2))
=3n^2/2-n/2

等差数列の和は1/2×(項数)×(初項+末項)で出すのが若干早いかもな。

これでn=1を代入すえるとa_1=1よりn≧1でも成立。


600は第n群の小さい方から何番目かってことですが、これもよくあるパターンで

まず何群目かを出してから、その群の中で何番目かを計算してます。


600が第n群であるとすると

a_(n-1)<600≦a_n



3(n-1)^2/2-(n-1)/2<600≦3n^2/2-n/2

これを実際にはどうやって解くかと言うと、厳密にやろうとしてどるああー!!って脳を損傷するくらい計算しまくるんじゃなくて3n^2/2-n/2は3n^2/2の方がn/2より次数が大きいから3n^2/2の方が数字がはるかに大きいわけで、だいたい3n^2/2の値に近いはずです。

だから3n^2/2=600としてみるとn^2=400⇔n=20で、だいたいn=20辺りを調べてみるとええと検討をつけるのがコツやねん。

するとa_20=3・20^2/2-20/2=600-10=590これは600より小さい。
a_21=3・21^2/2-21/2=651これは600より大きい。

だから

a_20<600≦a_21

で600は第21群目にあることがわかります。


それで600は小さい方から何番目かは、第n群で小さい方からm番目はa_(n-1)+mって表せるから

a_20+m=600⇔m=600-590=10

(2)
b_nは第(n+1)群の小さい方から2n番目ってことやから

b_n=a_n+2n
=3n^2/2-n/2+2n
=3n^2/2+3n/2

これの逆数をとって

1/b_n=1/(3n^2/2+3n/2)
=2/{3n(n+1)}
=2/3(1/n-1/(n+1))

と言うように部分分数分解してくれってことみたいやな。

後は和を求めたらよくて部分分数で階差数列の和になってるから足すと最初と最後の項が残って

Σ(k=1~n)1/b_k=Σ(k=1~n)2/3(1/k-1/(k+1))
=2/3・(1-1/(n+1))
=2n/(3n+3)


まあよくある問題のパターンそのまんまなので、ちゃんと勉強した人なら余裕やと思います。

解けない人は単に、解き方を知らないだけで覚えたら終わりです。
群数列を知らない子供たちって言うんかな。

センター試験の過去問の解説




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