受験数学わんこらスクール
京大理学部で数学をやったわんこらが中学生や高校生、受験生に数学の公式や問題を解説します。

(東京大学理系)正八面体のひとつに面を下にして水平な台の上に置く。
7月になりました。
と言うことは、論理的に考えれば先月までは6月でした。

さて今回は東大理系2008の問題の第三問です。



[問題]
080630_1.jpg

(1)正八面体のひとつに面を下にして水平な台の上に置く。
この八面体を真上から見た図(平面図)を描け。

(2)
正八面体の互いに平行な2つの面をとり、それぞれの面の重心をG1,G2とする。
G1,G2を通る直線を軸としてこの八面体を1回転させてできる立体の体積を求めよ。
ただし八面体は内部を含むものとし、各辺の長さは1とする。





[解答・解説]
(1)は平面図を描けってことですが、これって正直どこまで説明して証明して書いたらいいのか全然わかりません。


ただ自分としての解釈は、厳密な証明より正射影の図が描けるかどうかって言うことを聞いてると思います。
やっぱり大学でも数学の先生に言われることはまずは絵を描けってことですが、絵を描いて考えて計算できるか証明できるかって言うことを求めてると思います。
たぶん。


これが描けない人は、たぶんノート落書きして先生にしばかれて刺し歯がぶっ飛んだことが無いんやと思いますわ。



普段から立体的な落書きをせなあかん。


なんて言うか、みんなオレの絵をバカにしてるやろ。
ちゃんと立体的な絵とか描けますよ。
080630_2.jpg




そうやって立体的な絵を練習したところで、この(1)は絵を描けるかどうかにかかってます。
そらイメージ力があれば、すぐにわかるかもしれません。
ただイメージ力があるかどうかと言っても仕方ないですが、絵を描く練習ならある程度みんな上手くなっていくと思います。

まずはよく見かける正八面体を書いてみましょう。
意外にも結構難しいです。
080630_3.jpg

今度は、その正八面体を横に倒してみましょう。
正八面体の特徴として、向かい合う面が平行です。
まあ(2)に書いてありますが。
だから、倒して一つの面が水平になるとその向い側の面も水平になります。

横に倒した図を書くのはちょっと難しいですが、最初に正八面体を書いた紙をくるくる回すだけでも出来ます。

横に倒した図を描くと、それを真上から見た図は水平になっていて二つの向かいあった正三角形の面が反対向きに重なりあってることがわかります。

後はその二つの重ねた正三角形の頂点同士を結んでいけば出来ます。

六角形になりますが、これは正六角形です。

何故かと言うと、上図においてAFで線対称で図のように120°回転させても対称性から元の図に一致するはずだからです。
それかAFとBDとCEに線対称だからでもオッケーです。
その辺のことは書いた方が良いと思います。


(1)の平面図を描けって問題は(2)をやるための誘導です。
だからまずは絵を描けってことをしつこく要求してるわけです。

と言うよりも、オレがしつこく要求してるんかもしれませんが。


ただ(2)はそうは言っても内容的には難しいわけではありませんが、やり方によっては処理が複雑になりやすくて正直試験会場で時間内に出来るのか言うと厳しいような気がします。
後回しが無難かもしれません。

そういう自分の力量と問題の難易度を見極めたうえで判断を下せるかって言う判断力が実際合格するに非常に重用だと思います。
それが上手い人と上手くない人で定期試験はイマイチなのに何故か模試になると点数がとれるとか、その反対の人とかに分かれてる一つの原因で、しかもそれが社会で活躍出来るかにも少し関わってると思います。



まずは重心はどのような位置にあるか言うと、正六角形の性質からちょうど正六角形の真ん中になります。

だからG1とG2は真上から見ると重なっていて、直線G1G2はその二つの面と垂直に交わっています。


と言うことは直線G1G2に沿って、断面積を積分していけば良いわけです。

また正六角形の一辺の長さは1/√3です。

出来るだけシンプルに考えて線分G2G1をt:1-tに内分する点を通るG2G1に垂直な平面で切ることを考えます。

(1)では真上から見た正射影を描かされましたが、今度は真横から見た正八面体の正射影を書いて見ます。
恐らく正射影ってのがこの問題を簡潔に解くためのポイントです。
正射影の場合、比が非常に扱いやすくなります、
だから図を描いて、平行線と線分の比を使って正三角形ABEと正三角形FDCの間の辺がt:1-tに内分されいってるのがわかります。
080630_4.jpg

さらにこれを真上から見ると、断面図は(1)の正六角形の各辺をt:1-tに内分していった点を結んだ平面図になることがわかります。

この平面図をG1G2との交点である正六角形の中心を軸に回転させると、一番中心から遠い部分を回転させた円になるはずですがどの頂点も比から言うと明らかに中心から同じ距離です。

その距離rは色々な方法で求まりますが、正六角形の性質を使って余弦定理を使いました。

また、線分G1G2の長さも必要なので適当に三平方の定理とかで2/√6と求めてしまいます。
080630_5.jpg

後はG1の座標0、G2の座標2/√6と言うように直線G1G2を軸とした座標で線分G2G1をt:1-tと内分された点の座標をyとすると
∫(0,2/√6)πr^2dy
を求めるだけです。
2t/√6=yで置換積分するだけです。


とは言うものの、わかりやすく説明しようと考えてるから正射影を使って簡単に書けたとしてもこれを試験会場でやれと言われると、もうなんか
うへ~
ってなってるから複雑なやり方でやってしまってそう解けるものではないかもしれません。

でも落ち着いて大きく丁寧に絵が描けるようになっていれば、そこそこいけるかもしれません。


高校数学の問題と解説

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