受験数学わんこらスクール
京大理学部で数学をやったわんこらが中学生や高校生、受験生に数学の公式や問題を解説します。

センター試験数学2B、2010年度の第4問、ベクトルの問題の解説
小箱を見てたらキレそうになるな。


センター試験数学2B、2010年度の第4問のベクトルの問題の解説

[問題]
二つずつ平行な三組の平面で囲まれた立体を平行六面体という。辺の長さがすべて1の平行六面体ABCD-EFGHがあり、∠EAB=∠DAB=π/2,∠EAD=π/3である。AB→=p→,AD→=q→,AE→=r→とおく。

cen20102b41.jpg

0<a<1,0<b<1とする。辺ABを辺a:(1-a)の比に内分する点をX,辺BFをb:(1-b)の比に内分する点をYとする。点Xを通り直線AHに平行な直線と辺GHとの交点をZとする。三角形XYZを含む平面をαとする。

(1)p→・q→=p→・r→=[ア],q→・r→=[イ]/[ウ]である。ベクトルXY→は,a,b,p→,r→を用いてXY→=(1-[エ])p→+[オ]r→と表される。
EC→・XZ→=[カ]である。

(2)直線ECと平面αが垂直に交わるとし、交点をKとする。EC→が三角形XYZの2辺と垂直であることから、[キ]a+b=[ク]が成り立つ。

以下では、b=1/2とする。このときa=[ケ]/[コ]である。EK→を実数cを用いてEK→=cEC→と表すと、AK→=AE→+cEC→である。一方、点Kは平面α上にあるから、AK→は実数s,tを用いて
AK→=AX→+xXY→+tXZ→
=(1/[サ]・s+[ケ]/[コ])p→+tq→+(1/[シ]・s+t)r→
と表される。これらより,C=[ス]/[セ]である。よって、点Eと平面αとの距離|EK→|は([ソ]√[タ])/[チ]となる。


[解答と解説]
わかりやすく言うと、サイコロを一組の対面してる面をくり抜いて人差し指でぐにゅにゅ!ってこれ以上はもうおかしくなるってとこまで押した感じの図形です。

余計わかりにくいわ!



(1)p→とq→,p→とr→は直交してるから
p→・q→=p→・r→=0
q→とr→はなす角度がπ/3でそれぞれ長さが1だから
q→・r→=1・1・cosπ/3=1/2

この問題ではAB→=p→,AD→=q→,AE→=r→と置いてるようにAを始点としてAB→,AD→,AE→を基本ベクトルに置いてるからAを始点にそろえていってp→,q→,r→であらわしていく方針で

AX→=ap→
AY→=bAF→+(1-b)AB→
=b(p→+r→)+(1-b)p→
=p→+br→

よって
XY→=AY→-AX→
=(1-a)p→+br→

また
EC→=AC→-AE→
=p→+q→-r→

点Xを通り直線AHに平行な直線と辺GHとの交点がZより
XZ→=AH→=q→+r→

よって
EC→・XZ→=(p→+q→-r→)(q→+r→)
=p→(q→+r→)+(q→-r→)(q→+r→)
=0

これは直交してたみたいやな。

そういう直交するあれやったってことか。


(2)、(1)の流れを考えて平面αはXZ→とXY→であらわせて直線ECがこの二つのベクトルが等しければ平面α⊥直線ECでした。

でもEC→とXZ→の内積は0やったからこれはすでに垂直です。


だから後はEC→・XY→=0が成り立てばええねん。

EC→・XY→=0

(p→+q→-r→)・((1-a)p→+br→)=0

(1-a)+b/2-b=0

2a+b=2

b=1/2とすればa=3/4です。
さすがにこれは、鼻水垂らしながらお茶漬け食べててもわかります。

それで点Eと平面αの距離|EK→|を求めようとしてるみたいで、Kが直線EC上であるって条件から
EK→=cEC→

AK→-AE→=cEC→

AK→=AE→+cEC→
=r→+c(p→+q→-r→)
=cp→+cq→+(1-c)r→

次に点Kは平面α上にあるって条件から、実数s,tを用いて
XK→=sXY→+tXZ→

AK→-AX→=sXY→+tXZ→

AK→=AX→+sXY→+tXZ→
=ap→+s{(1-a)p→+br→}+t(q→+r→)
=(s/4+3/4)p+tq→+(s/2+t)r→

これでさっきの式とp→,q→,r→は一次独立だから定数比較して

c=s/4+3/4
c=t
1-c=s/2+t

これを解いてc=5/8

だからEK→=(5/8)EC→

|EK→|=(5/8)|p→+q→-r→|
=(5/8)√(1+1+1+2・0-2・1/2-2・0)
=(5√2)/8


ベクトルの問題としてかなりよくある問題で、解き方が身に付いてたら全然考えることなくぶーわーやってたらなんか知らんけど出来ると思います。

しっかりこれくらいの解法は暗記したってください。

センター試験の過去問の解説




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