受験数学わんこらスクール
京大理学部で数学をやったわんこらが中学生や高校生、受験生に数学の公式や問題を解説します。

極板間引力の求め方とよくある勘違い
極板間引力は甘くて切ないな。

極板間引力は甘くて切ないな。

そういえば極板間引力は甘くて切ないな。


ええからはよ説明しろ!


今日は極板間引力について説明します。

これはよく混乱するからな。


例えばこんな場合を考えてみましょう。

面積Sの十分広い導体極板があってQの電荷が与えられてるとします。

100211p1.jpg

これは上面と下面に一様にQ/2ずつ分布するはずです。

上面と下面の電界をEとするとガウスの定理から
2SE=Q/ε_0⇔E=Q/(2Sε_0)

でこれは電荷密度は上面と下面もσ=Q/2Sだから
E=σ/ε_0
で確かに
(平板導体表面の電界の大きさ)=(導体表面の電界の面密度)/ε_0
を満たしています。

次に同じ形の導体極板を持ってきて-Qの電荷が与えられてるとします。

100211p2.jpg

すると電荷Qが与えられた方は片方の面に電荷Qが集まります。
電荷-Qの方は片方の面に電荷-Qが集まります。

だから電荷が無い側の電界は0で,電荷がある側の電界をE'とすると
ガウスの定理より電荷Qの極板をちょうど囲む閉曲面で

SR'+S・0=Q/ε_0
よって
E'=Q/Sε_0

これも内側の電荷密度はσ=Q/Sだから
E'=σ/ε_0
で確かに
(平板導体表面の電界の大きさ)=(導体表面の電界の面密度)/ε_0
を満たしています。

だから極板間引力Fは
F=QE'

ところが本に載ってる公式はF=QE'/2でした。

どういうこっちゃ、どういうこっちゃ、どういうこっちゃ

100211p3.jpg

どうらっしゃーい。

どういう意味やねん!


これは電界がよくわかってないねんな。


電界とは、ある点において,1[C]あたりに働く静電気力をその点の電界と言うねん。

だからE'は極板二つで作り出した電界であって、ここに別の電荷を持ってきたらその電界の影響を受けるって話やねん。

極板は電界を作り出してる側やから、E'の影響を全部は受けてないねん。

例えば電荷eの点は電界を作りだしてるけど、自分の電界の影響なんか受けずに動かせるやんな。


いや、ガウスの定理から極板一つでE'を作り出してたやん。

そう思うかもしれん。

そこで説明するとガウスの定理って言うのは一つの極板をちょうど囲む閉曲面をとって、「外側の電荷による電界を重ね合わせても」成り立ってると言うものやねんな。

だからガウスの定理から出たE'は外側の極板の電界との重ね合わせやねん。

例えば電荷Qを囲む球面を貫く電気力線の総本数は

100211p4.jpg

外に電荷-Qのものがあっても、何もなくても一緒やねん。


外に電荷-Qがあると-Qのある方側が密度が濃くなってて反対側が薄くなってます。
だから密度は変わるねん。

でも総本数は同じやねん。


だからガウスの定理から極板一つをちょうど囲む閉曲面を考えてE'が求まったとしても、
それは外側の電荷の影響で密度が変わったから外側の電荷の電界の影響も入ってるねん。



じゃあどう考えたらええのか。

それは導体を考えてるからちょっとややこしいだけやねん。

100211p5.jpg

こういう合計の電荷がQの粒子が一様に平面上に並んだものを考える。

するとこれが作る電界Eはガウスの定理からE=Q/(2S)なはずや。
(E=E'/2)

この電界のとこに合計の電荷が-Qの粒子が一様に平面上に並んだものをもってくる。

すると受ける力Fは

F=QE=QE'/2

これで極板間引力が出てくるねん。


だから電荷があって、別の電荷が持ってくる問題として考えたら当たり前の話やねんな。
100211p6.jpg

それで導体内は導体の性質から等電位つまり電界は0になるように電荷が動いて分布しだすねん。
どっち側に分布しようが一つの極板が作る電界は変わらへんとこに注意したってくれ。

内側にQ,-Qが一様に集まったら導体内は

E-E=0

ってちょうど0になるから内側にQ,-Qが一様に分布するわけやねんな。

それで二つの極板の間の電界はE+E=2E=E'が働いてるって話やねん。

こうやって「重ね合わせ」で考えれば勘違いは起こりにくいです。


極板間引力の公式のQE/2のEやコンデンサーの電界Eは極板二つで作ってる重ねあわされた電界のことです。
そこに注意したってください。

高校物理




テーマ:物理学 - ジャンル:学校・教育

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