受験数学わんこらスクール
京大理学部で数学をやったわんこらが中学生や高校生、受験生に数学の公式や問題を解説します。

積分の問題、東京大学2010年度理系第四問の解説
さて、家の中でタエ子が走り回ってる季節になりました。

今日は東京大学2010年度理系第4問の解説です。

[問題]
toudai201041.jpg

Oを原点とする座標平面上の曲線
C:y=1/2・x+√(1/4・x^2+2)
とその上の相異なる2点P_1(x_1,y_1),P_2(x_2,y_2)を考える。
(1)P_i(i=1,2)を通るx軸に平行な直線と直線y=xとの交点をそれぞれH_i(i=1,2)とする。このとき,△OP_1H_1と△OP_2H_2の面積は等しいことを示せ。
(2)x_1<x_2とする。このときCのx_1≦x≦x_2の範囲にある部分と,線分P_1O,P_2Oで囲まれる図形の面積を,y_1,y_2を用いて表せ。


[解答]
まずはそらグラフを書かないことには何も始まらへん。
数学の問題やる時の鉄則やな。

ただ、どこまで詳しく調べるかって言う質問が多いねんけど、

これがグラフをかけって言う問題やったら二回微分までして増減表や凹凸まで調べるねん。
問題を解くのにグラフを書くのが必要な時は、必要なことだけ調べたらええねん。

まあこの問題のグラフは常識的に形がわかるから、ちょっと微妙やねんけど、一応増加関数であることと、yは正の値でy=xより上にあるくらいのことを示しておけば安全かな。
toudai201042.jpg

y'=1/2+(x/2)/(2√(x^2/4+2))
=2/√(x^2/4+2)(2√(x^2/4+2)+x)>0

x≧0では
(x/2+√(x^2/4+2))-x=√(x^2/4+2)-√(x^2/4)>0

つまりx≧0ではCはy=xより上にあるって言いたいわけや。

x<0では
x/2+√(x^2/4+2)>0
だからx≧0の結果とあわせてCは常に正であるってことやな。


これくらいのことがわかれば解けます。

(1)
toudai201043.jpg

等しいってことを示せってことやけど、一つの方法として

値を実際に求めて、それが同じならいい

と言う論理があります。


値を求めろとは書いてないねんけど、求めて同じ値やから等しいって言った方が簡単やねん。
結構この論理は使うから意識的に覚えていてください。


値の求め方は、わからない人はいないかもしれませんが、

P_i(x_i,y_i)でH_iの座標はy=x上よりyの値とxの値が等しいはずで、y座標はP_iのy座標と同じはずやから
H_i(y_i,y_i)
後は座標で面積を出す公式を使っても、そのまま図形的に面積を求めてもどっちでもええけど公式的にやると

△OP_iH_i=|x_iy_i-y_iy_i|/2
=|y_i||x_i-y_i|/2
=|x_i/2+√(x_i^2/4+2)||x_i/2-√(x_i^2/4+2)|/2
=|x_i^2/4-(x_i^2/4+2)|/2
=|2|/2=1

これで△OP_1H_1も△OP_2H_2も値は1やから等しいって言えました。

(2)
toudai201044.jpg

後は面積を求めるだけか。

面積はパズルみたいに図で考えて計算するのがコツやったな。

x_1y_1/2+∫(x_1,_x2)(x/2+√(x^2/4+2))dx-x_2y_2/2
=…

ってやってると、


三時間後…


気づいたら何故かベッドの上やって、よう見たら裸にされてるねん。

それでパっと顔をあげたら

toudai201045.jpg

やあ、僕たちと一緒に営みませんか?

ってテカテカのお兄さまがこっち近づいてくることになります。


こういう時は、身体に違和感を感じたらちょっとおかしいんちゃうか疑わなあかんねん。
場合によってはお兄さまたちの法的措置も考えなあかん。


それと一緒でこの問題ってy_1とy_2で表せって書いてるのがなんか違和感を感じるやろ。
普通はx_1とx_2で表せやのに、y_1とy_2で表せってなんかおかしいですやん。


例えばこの斜線部の面積を考えてみてくれ。

toudai201046.jpg

y=√(x-1)とx軸とy軸とy=y_1で囲まれた部分な。
この面積をy_1で表せ言うたら、普通は無理関数の積分をするんじゃなくて

x=y^2+1
ってxとyを入れ替えたらただの二次関数なわけやから

∫(0,y_1)(y^2+1)dy=[y^3/3+y](0,y_1)
=y_1^3/3+y_1

ってやるやん。


こうやってyで積分したら上手くいくパターンがあるねんな。

この問題もy_1とy_2で表せがちょっとしたヒントにもなってるねん。


もし、こんなん思いつかんかった言う人がいたら、それでショックを受けるんじゃなくて、単に今までこのパターンを経験してなかっただけやから、これで

yで積分したら簡単になる場合がある

って覚えたらええねん。


ほんまどんどん覚えていってくれ。

toudai201047.jpg

y=x/2+√(x^2/2+2)
両辺二乗して
(y-x/2)^2=(x^2/2+2)

yx=y^2-2
y>0より
x=(y^2-2)/y(y>0)

xについて解いたら、かなり普通の式やな。

直線OP_1:x=(x_1/y_1)y
直線OP_2:x=(x_2/y_2)y

面積を求めるのも、パズル的に図で考えると言うほどのもんじゃなくて、ほんま驚くべき普通の積分やな。

東大でこんな簡単な計算があってええんかって感じや。

∫(0,y_2)(x_2/y_2)ydy-∫(0,y_1)(x_1/y_1)ydy-∫(y_1,y_2)(y^2-2)/ydy

あとは計算して

2log(y_2/y_1)


たぶん(1)を使えば、なんか簡単になるんやろうけど、そんなこと考えたり説明する前にこうやって計算してもた方が速いんちゃうか。


わんこら式にもこんなことたくさん書いてるけど、むしろこういう戦略が一番大切やから覚えていってくれ。

東京大学の入試の数学の過去問の解説




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