受験数学わんこらスクール
京大理学部で数学をやったわんこらが中学生や高校生、受験生に数学の公式や問題を解説します。

図形問題、東京大学2010年度理系第5問文系,第4問共通問題の解説
やっぱり女は恐いな。


東京大学2010年度理系第5問、文系第4問の解説します。

[問題]
toudai201051.jpg

Cを半径1の円周とし,AをC上の1点とする。3点P,Q,RがAを時刻t=0に出発し,C上を各々一定の速さで,P,Qは反時計回りに,Rは時計回りに,時刻T=2πまで動く。P,Q,Rの速さは,それぞれm,1,2であるとする。(したがって,QはCをちょうど一周する)ただし,mは1≦m≦10をみたす整数である。△PQRがPRを斜辺とする直角二等辺三角形となるような速さmと時刻tの組をすべて求めよ。


[解答と解説]
toudai201052.jpg

円の中心をO(0,0),A(1,0)として座標を置いていって条件を数式化したら良さそうやな。

P(cos(mt),sin(mt)),Q(cost,sint),R(cos(-2t),sin(-2t))
△PQRがPRを斜辺とする直角三角形ってことは

PR^2=PQ^2+RQ^2
かつ
PQ=RQ
かつ
P≠Q,Q≠R,R≠P

それで式を整理していってと。

PR^2=PQ^2+RQ^2

(cos(-2t)-cos(mt))^2+(sin(-2t)-sin(mt))^2
=(cos(mt)-cost)^2+(sin(mt)-sint)^2+(cost-cos(-2t))^2+(sint-sin(-2t))^2

2-2cos(mt+2t)=2-2cos(mt-t)+2-2cos3t



とりあえずPQ=RQも整理してみると

2-2cos(mt-t)=2-2cos3t

cos(mt-t)=cos3t

(m-1)t=±2t+2nπ



ってこんなことをやってると希望ある未来を見ることが出来ず

toudai201053.jpg

こういう間違った方向に向かいます。


オレも一時期、数学が出来るようにするために瞑想してたら、親に

「これがあかんのか!」

ってネットが出来ないようにパソコン捨てられそうになりました。


まあ瞑想で出来るようになるわけもなく、数年後、もっと戦略的で現実的な勉強してたら大学の数学も東大と京大の大学院と、数理解析研究所って言う東大や京大で数学が出来る人の10人ぐらいしか採らないところの筆記試験に合格しました。

その経験をまとめたのがわんこら式なんで、また良かったら試してください。


さて話は戻って、東大の問題はこうやって数式化していくことで解けたかと言うと、そうでないことがほとんどでした。

と言うよりも、もっと図形的に考えて式を簡単にしていくパターンが多いわけや。

しかも結構、中学生的な図形的知識を使って簡単にすることが多くて中学生的に解くって言うイメージやな。


そもそもは計算ミスを無くす方法に書いてるように、計算が難しくならないようにもっていくのがコツやしな。

この問題の解き方で、その考え方のパターンを覚えて欲しいねん。


まず図を書いてみよう。
もう図を書く以外にはじまらへんねん。

toudai201054.jpg

するとPRが斜辺となる直角三角形は

○PRが直径になる

○PQ=QR

であれば良いってことがわかるねん。


PRが直径ってことは∠PORがπって言うような話にもっていけそうやんな。

と言うことは三角関数とか難しいことをやるんじゃなくて、単に角度だけの話に持って入ったらええんちゃうかって思うと、PQ=QRって言う条件は角度の条件になおせば

∠QOR=π/2

であればよいってなりますやん。

これで角度だけ考えればええことになりました。


こうやって、中学生的に解くんがコツやねん。

自分の計算能力に頼ろうとするんじゃなくて、計算が簡単になるようにもっていくわけや。


まとめると
∠POR=π
∠QOR=π/2

であればええねん。

それでPの速度はmやから∠AOP=mt,Qの速度はtやから∠AOQ=t,Rの速度は2より∠AOR=2t

∠PORは広がっていくわけやから、これがπの奇数倍やったらよくてkを自然数として

∠POR=π
⇔mt+2t=(2k-1)π
⇔(m+2)t=(2k-1)π…①


∠QORも広がっていくわけやから、これがπ/2の奇数倍やったらよくてlを自然数として

∠QOR=π/2
⇔t+2t=(2l-1)π
⇔6t=(2l-1)π…②


かなり式が簡単になりました。

後は整数問題になってくるわけやな。

toudai201055.jpg

それで解き方やけど、単純にtを消去して
6(2k-1)=(m+2)(2l-1)
とやってm,k.lは全部自然数やから、2l-1と2k-1は奇数やからm+2は偶数で…

って言うように整数問題のテクニックを駆使しまくっても解けます。


ただ、さっきと同じ考えやけど自分の腕に頼るんじゃなくて、簡単になるように持っていって欲しいねん。

整数問題で範囲を絞って、後はシラミ潰しって言うパターンがあったやん。
こうやって簡単になるように持っていって欲しいねん。


つまり0≦t≦2πやから②をみると
0≦6t≦12π
⇔0≦(2l-1)π≦12π
⇔1≦2l≦13
⇔l=1,2,3,4,5,6

ってlの値が6個しかないことがわかるやん。

これで一つ一つ入れて調べていったら終わりなだけですやん。

toudai201056.jpg

(i)l=1の時
②からt=π/6
これを①に代入して
m+2=6(2k-1)
⇔k=(m+8)/12
これでkが自然数になるには、mに1から10まで全部入れて考えてみるとm=4だけですわ。
まあ明らかに見ただけでm=4か8やからこの二つ調べたらええねんけど。

(ii)l=2の時
②よりt=π/2
①から
m+2=2(2k-1)
⇔k=(m+4)/4
kは自然数よりm=4,8

ほんま単純作業ですわ。
こうやったら、頭痛めなくて簡単やろ。

(iii)l=3の時
②よりt=5π/6
①から5(m+2)=6(2k-1)
⇔k=(5m+16)/12
kは自然数やからm=4って決まり

toudai201057.jpg

(iv)l=4の時
②よりt=7π/6
①から7(m+2)=6(2k-1)
⇔k=(7m+20)/12

kは自然数やからm=4に決まりました。

(v)l=5の時
②よりt=3π/2
①から3(m+2)=2(2k-1)
⇔k=(3m+8)/4
kは自然数よりm=4,8

toudai201058.jpg

(vi)l=6の時
②よりt=11π/6
①から11(m+2)=6(2k-1)
⇔k=(11m+28)/12
kは自然数やからm=4だけ

後は全部まとめて(i)~(vi)より
(m,t)=(4,π/6),(4,π/2),(8,π/2),(4,5π/6),(4,7π/6),(4,3π/2),(8,3π/2),(4,11π/6)

ふにゅふにゅ。

東京大学の入試の数学の過去問の解説




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