受験数学わんこらスクール
京大理学部で数学をやったわんこらが中学生や高校生、受験生に数学の公式や問題を解説します。

図形と方程式の問題、東京大学2010年度文系第1問の解説
友達にドストエフスキーの本を貸したらトイレに持って入られてると思わなあかんわ。

そしたら、東京大学2010年度文系第一問の解説をします。


[問題]
toudai2010bu11.jpg

Oを原点とする座標平面上に点A(-3,0)をとり,0<θ<120°の範囲にあるθに対して、次の条件(i),(ii)をみたす2点B,Cを考える。
(i)Bはy>0の部分にあり,OB=2かつ∠AOB=180°-θである。
(ii)Cはy<0の部分にあり,OC=1かつ∠BOC=120°である。ただし△ABCはOを含むものとする。

以下の問(1),(2)に答えよ。

(1)△OABと△OACの面積が等しいとき,θの値を求めよ。
(2)θを0°<θ<120°の範囲で動かすとき,△OABと△OACの面積の和の最大値と,そのときのsinθの値を求めよ。

[解答と解説]
toudai2010bu12.jpg

まず図を書く以外に何もない。

まずは図ですわ。

出来るだけ最初に図を描くって言葉にして意識をしてくれ。

ベクトルの問題とか必ずしもそうでもないこともあるねんけど、やっぱり東大の問題やしまず図ですわ。


しかし、この問題はセンター試験を簡単にしたような問題で、これを落とすと相当痛いんちゃうか。


特に全体的に問題はないと思います。
(1)
toudai2010bu13.jpg

△OABの面積はOAの長さが3,OBの長さが2,∠AOB=180°-θやから
△OAB=1/2・3・2sinθ=3sinθ

△OACの面積はOAの長さが3,OCの長さ1,∠AOC=180°-(120°-θ)やから
△OAC=1/2・3・1・sin(120°-θ)=3/2・sin(120°-θ)

これが等しいければいいから
△OAB=△OAC

3sinθ=3/2・sin(120°-θ)
両辺に2/3をかけておいて、まあ加法定理で展開する以外に道がなさそうやから
2sinθ=(√3)/2・cosθ+1/2・sinθ

(√3)sinθ-cosθ=0

まあすぐにtanθ=1/√3やなってわかるけど、一応念のためにcosθ≠0であることを断っておいて

cosθ=0とするとsinθ=±1となり左辺=±√3,右辺=0で矛盾。
よってcosθ≠0でcosθで割って
tanθ=1/√3

よってθ=30°

(2)
toudai2010bu14.jpg

もうそのまま計算を続けていくだけでポイントは、

加法定理でバラすことでsinθとcosθの1次式になる
よって合成が出来て最大値が求まる

って言うよくあるパターンなところです。

覚えていると思いますが覚えといてください。

△OAB+△OAC=3sinθ+3/2・sin(120°-θ)
=3sinθ+2/3((√3)/2・cosθ+1/2・sinθ)
=3/4・(5sinθ+(√3)cosθ)
=3/4・2√7・sin(θ+α)
=(3√7)/2・sin(θ+α)
(cosα=5/(2√7),sinα=√3/(2√7))

まあ合成は、sinでの合成とcosでの合成をスラスラ出るまでに覚えてたら早いな。

オレは昔は√(5^2+√3^2)=2√7でかけて割る

5sinθ+(√3)cosθ=2√7(5/(2√7)・sinθ+√3/(2√7)・cosθ)

と変形して5/(2√7)と√3/(2√7)は二乗した和が1

{5/(2√7)}^2+{√3/(2√7)}^2=1

だからcosα=5/(2√7),sinα=√3/(2√7)とおけて

5sinθ+(√3)cosθ=2√7(sinθcosα+cosθsinα)
=2√7sin(θ+α)

とか加法定理の形にして合成すると言う手順でやっててんけど、わんこら式を発展させてきた今、やっぱり合成の定理がスラスラ出るまで覚えた方が早くて正確で理解も早くなることに気づいてきました。


話は戻って(3√7)/2・sin(θ+α)の最大値を求めたらええねんけど、sin(θ+α)=1になる時やろって言うのは簡単に予想がたつと思うねん。
後はそれをどうやって、正確に書くかやな。

それには

○θ+αの動く範囲
○端点の評価

を考えるとええねん。

センターでもよくあるけどな。

θ+αの動く範囲は、αは定数でθが変数やから
0°<θ<120°よりα<θ+α<120°+αです。

それでこれが90°を含むことを示したいねん。
ついでに90°-360°=-270°よりは大きい範囲で90°+360=450°よりは小さい範囲であること言っておけば、完ぺきにθ+α=90°の時が最大やと言えるわけやな。
まあここまでしなくてもええかもしれんけど。

それで端点の評価は、要するにαの評価やから
cosα>0,sinα>0より0°<α<90°としてよい。

まあこれは360°<α<450°とか言いだすと、面倒やから0°<α<90°出来るならしてしまった方が便利ってわけですわ。

これより120°<120°+α<210°

よってα<θ+α<120°+αは90°を含んでいて、-270°よりは大きいし、450°よりは小さいこともわかったから

θ+α=90°ってばっちり答えられます。

つまりsinθ=sin(90°-α)=cosα=5/(2√7)の時ですわ。

最大値は(3√7)/2


これはセンター試験の勉強でもあるから、最低これくらいはスラスラ出来るように解法をしっかり覚えて欲しいとこですわ。

東京大学の入試の数学の過去問の解説




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