受験数学わんこらスクール
京大理学部で数学をやったわんこらが中学生や高校生、受験生に数学の公式や問題を解説します。

積分方程式の問題、東京大学2010年度文系第2問の解説
今日は美容院に行ったら、シャンプーしてもらう時に襟が濡れてん。

嘘やって。


そしたら、東京大学2010年度文系第2問の解説をします。


[問題]
toudai2010bu21.jpg

2次関数f(x)=x^2+ax+bに対して
f(x+1)=c∫(0,1)(3x^2+4xt)f'(t)dt
がxについての恒等式になるような定数a,b,cの組をすべて求めよ。


[解答と解説]
toudai2010bu22.jpg

f'(t)dtがあるってことは…はは~ん、f(t)で積分しろってことか。

でも4xtの項があるから、部分積分とかしたらええかもしれんな。


それでこういうのは特殊なxの値を入れてみると、結構解けたりするねん。
f(0)=bやろ

f(x+1)=c∫(0,1)(3x^2+4xt)f'(t)dtの式にもx=0を代入したら
f(1)=0で…

ってずっとこんなことやり続けてると、

toudai2010bu23.jpg

いらっしゃ~いって登下校してる学生に挨拶してくる怪しいおっさんになります。


よく赤門でこんなわけわからんことなってる人いますよね。


京大出身やからって東大のことめちゃくちゃ書きすぎやろ。


ちゃうねん、そんなこと言うてる場合ちゃうねん。

東大の過去問を見てくれ。

似たような問題があって、ほんまにそのまま普通に計算するだけやったやろ。

これもそのまま普通に積分を計算して、係数比較すると言うとてつもなく普通にやるだけの問題です。

でも他の大学の問題をやってたら、小手先のテクニックを使わせる問題が多くて、反対に出来なくなるように成長していくと思うねん。

だから過去問をやってたくさん解法を覚えといて欲しいっていつも言うてるねん。

それで東大の問題やから、これは普通に解くんやろなってわかってくるねん。

それとか、これが解けるようになるには、この問題集をまずはやっていこうとか強くはっきりした目的からの、今出来る目標への分割じゃないと挫折しやすいねん。

また過去問の使い方でも読んで参考にしとってください。

わんこら式マスターへの道とかも。


それで解答やけど普通に計算して、係数比較するだけやって言うたらみんな出来ると思います。

後は東大はそこそこ計算させてくるから、計算間違いをしないように。

これも計算ミスをなくす方法でも読んどいてください。


この問題が解けないってことは、数学の力じゃなくて上に書いてるような、わんこら式的な考えが出来ないと言うこと以外にないからな。

ところが数学の力は実は、わんこら式的な考えが出来るか、どうかが大きく影響をしてくるねんけどな。


ええ加減に解答を説明せいって話やなこれ。

toudai2010bu24.jpg

まず微分しておいて
f'(x)=2x+a
だから
f(x+1)=c∫(0,1)(3x^2+4xt)f'(t)dt

(x+1)^2+a(x+1)+b=c∫(0,1)(3x^2+4xt)(2t+a)dt

x^2+2x+1+ax+a+b=c∫(0,1)(8xt^2+(6x^2+4ax)t+3ax^2)dt

x^2+(2+a)x+1+a+b=c[8xt^3/3+(3x^2+2ax)t^2+3ax^2t](0,1)

x^2+(2+a)x+1+a+b=3c(1+a)x^2+(8/3+2a)cx

これが恒等式になるには係数比較して

3c(1+a)=1…①
(8/3+2a)c=2+a…②
0=1+a+b…③

toudai2010bu25.jpg

後は連立方程式をといて、①と②からaとcが求まるから丁寧に処理してcを消去していくと

①から右辺≠0より1+a≠0だから1+aで割れて

c=1/(3(1+a))

②に代入して

(8/3+2a)/(3(a+1))=2+a

(8/3+2a)=3(1+a)(2+a)

(3a+5)(3a+2)=0

よってa=-5/3,-2/3

a=-5/3のとき、②からc=1/(3(1-5/3))=-1/2
③からb=-1-a=2/3


a=-2/3のとき、②からc=1/(3(1-2/3))=1
b=-1-a=-1/3

よって答えは

(a,b,c)=(-5/3,2/3,-1/2),(-2/3,-1/3,1)

東京大学の入試の数学の過去問の解説




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