受験数学わんこらスクール
京大理学部で数学をやったわんこらが中学生や高校生、受験生に数学の公式や問題を解説します。

空間ベクトルの問題、京都大学2010年度理系甲乙共通の第1問の解説
中学の時にダーリンダーリンって言いながら近づいてくる男がおったけど、みんなも気をつけてくれ。


京都大学2010年度理系甲乙共通の第1問

[問題]
kyoudai2010ri1.jpg

四面体ABCDにおいてCA→とCB→,DA→とDB→,AB→とCD→はそれぞれ垂直であるとする。このとき,頂点A,頂点Bおよび辺CDの中点Mの3点を通る平面はCDと直交することを示せ。


[解答と解説]
京大の問題は最近よく、この手の簡単な空間ベクトルの問題が多いような気がします。

チャート式の例題のようなのを解答の流れを覚えていれば、スラスラと完ぺきに解けると思います。


とりあえず、まずは図を書きましょう。

図を書く以外に道がないと思ってくれ。

kyoudai2010ri2.jpg

こういう図を書き写したりして練習してたかどうかでも差がたぶん開いていきます。

たぶんな。


立体図形の図を書けるかどうかは、才能じゃなくて絵を真似して書いて覚えるものやって言うのだけは忘れとんいてくれ。

kyoudai2010ri3.jpg

空間ベクトルの典型的な問題やから、ここで手順を確認していきましょう。
しっかり手順を意識して、やってくれ。

手順を意識してやるを繰り返すことで、完ぺきな処理なすばやく正確になるわけで、これは何でも言えることです。

1、基本ベクトルを考える

始点をどこの頂点にして基本ベクトルをとってきても解けると思うけど、Aが便利そうな気がします。
空間ベクトルやから三つとらなあかんけど、四面体では
AB→,AC→,AD→って基本ベクトルをとるのがだいたい普通やな。

2、条件を式にする。

問題文に書いてる条件をベクトルの式にしていきます。

まずCA→とCB→,DA→とDB→,AB→とCD→はそれぞれ垂直は内積が0の式であらわせるから

CA→・CB→=0,DA→・DB→=0,AB→・CD→=0

またMはCDの中点やからAM→=(AC→+AD→)/2です。


それと示したい方も考えていくと見通しがよくて
頂点A,頂点Bおよび辺CDの中点Mの3点を通る平面はCDと直交を示す、つまりは平面ABMとCDが垂直ってことを式で言うと

あるベクトルが平面に垂直であることは、平面上の一次独立な二つのベクトルと垂直であればよかったから

AB→・CD→=0
AM→・CD→=0

を示せばええことになります。


3、始点をそろえる

今はAを始点にしようとしたらAでそろえます。

CA→・CB→=0,DA→・DB→=0,AB→・CD→=0
の式をAを始点にして

CA→・CB→=0

AC→・(AB→-AC→)=0

AC→・AB→-|AC→|^2=0

DA→・DB→=0

AD→・(AB→-AD→)=0

AD→・AB→-|AD→|^2=0

AB→・CD→=0

AB→・(AD→-AC→)=0

AB→・AD→-AB→・AC→=0

4、整理

基本ベクトルはAB→,AC→,AD→やからこの三つのベクトルであらわしていこうとします。
と言っても、もうあらわせてるけどな。

AC→・AB→-|AC→|^2=0
AD→・AB→-|AD→|^2=0
AB→・AD→-AB→・AC→=0

この三つの式と

AM→=(AC→+AD→)/2

が成り立ってます。
もう少し三つの式の方のあらわし方をかえると

AC→・AB→=AD→・AB→=|AC→|^2=|AD→|^2


これで、準備は完了。

後は結論の
AB→・CD→=0
AM→・CD→=0
を示したらよくなります。

これらもAを始点にして、基本ベクトルであらわしていく方針で変形していきます。

ただこの問題ではAB→・CD→=0はもともと成り立ってるから、AM→・CD→=0だけ示したらオッケーです。

AM→・CD→=(AC→+AD→)/2・(AD→-AC→)
=(|AD→|^2-|AC→|^2)/2
=0

だから平面ABMとCDが垂直であることが言えました。


そしたら模範解答は書いておいたから見ておいたってくれ。

kyoudai2010ri4.jpg

これは物凄く基本的で大切な問題やから京大目指す人に限らずこれがスラスラ解けない人は、しっかりこの手順を意識して解くをわんこら式の要領で身につけてくれ。


京都大学の入試の数学の過去問の解説




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