受験数学わんこらスクール
京大理学部で数学をやったわんこらが中学生や高校生、受験生に数学の公式や問題を解説します。

センター試験数学2B、2001年度の第1問…三角関数と指数関数の問題の解説
センター試験の2001年度の解説を依頼受けたから、解説しますわ。

オレもさっそうはるにやな。

また意味わからんこと言いだしたか。


センター試験2001年度数学2Bの第一問の解説です。


[問題]
[1]
(1)0°<θ<90°とする。
tanθ+1/tanθ=[ア]/sin[イ]θ

tanθ-1/tanθ=[ウエ]cos[オ]θ/sin[カ]θ

であり、これらを用いてtan15°を求めると

tan15°=[キ]-√[ク]

である。

(2)θが15°≦θ≦60°の範囲を動くとき、tanθ+1/tanθは

θ=[ケコ]°のとき最小値[サ]

θ=[シス]°のとき最大値[セ]

をとる。

[2]方程式
4/(√2)^2+5/2^x=1
の解xを求めよう。

X=1/(√2)^x…①

とおくと、Xの方程式
[ソ]X^2+[タ]X-1=0
が得られる。

一方,①よりX>[チ]である。したがって

X=[ツ]/[テ]
を得る。これから、求めるxは
x=[ト]log_2([ナ])
となる。


[解答と解説]
[1]
center20012b11.jpg

昔、お袋はtanθは一日3時間以上見たらあかん言うてたの思い出すな。

そんなtanθやけど、だいたい

「tanθが絡んだ変形はtanθ=sinθ/cosθになおす」

と上手くいきやすいです。

それを意識してやります。


tanθ+1/tanθ=sinθ/cosθ+cosθ/sinθ

で通分して

={(sinθ)^2+(cosθ)^2}/(cosθsinθ)

分子は1で、分母は

cosθsinθと言う形がこれば、sin2θ=2cosθsinθ

を使います。

=1/(1/2・sin2θ)
=2/sin2θ

同様にして

tanθ-1/tanθ=sinθ/cosθ-cosθ/sinθ
={(sinθ)^2-(cosθ)^2}/(cosθsinθ)

分母はさっきと同じで、分子の方が

(cosθ)^2-(sinθ)^2=cos2θ

を使います。

=cos2θ/(1/2・sin2θ)
=-2cos2θ/sin2θ

2倍角の公式をパっと出るくらいに覚えていないと、中々難しいわけやな。

そしたら2倍角の公式一緒に覚えよか。


sin2θ=2sinθcosθ
(新2年生は2回死ねって言われて殺された)

ウツになるわ!

まあ忘れた場合は加法定理を使ってください。
sin(2θ)=sin(θ+θ)
=sinθcosθ+cosθsinθ
=2sinθcosθ

cos(2θ)=cosθcosθ-sinθsinθ
=(cosθ)^2-(sinθ)^2

center20012b12.jpg

それでtan15°はどう求めるかというと、さっきの式を使えと言わんばかりやけど

tan15°+1/tan15°=2/sin30°=4

tan15°-1/tan15°=-2cos30°/sin30°=-2√3

それで、こんな形の式は足して1/tan15°を消去するのがコツです。

だから辺々足して

2tan15°=4-2√3
から
tan15°=2-√3


まあ
tan15°=tan(45°-30°)に加法定理を使っても普通に出来るねんけどな。


center20012b13.jpg

それでtanθ+1/tanθの最大値と最小値は

これはx+1/xの形やから相加相乗平均の関係を使って
x+1/x≧2√(x・1/x)=2
やなって思いそうですが、これでも出来ますが最大値が困ります。

そういうことをやるんじゃなくて、センターの場合はしっかり誘導に乗ってください。

さっき

tanθ+1/tanθ=2/sin2θ

って導かされたから、これを使えば2/sin2θの方は簡単に最大値と最小値が求まります。

まずはsin2θの範囲を求めます。
15°≦θ≦60°から30°≦2θ≦120°より単位円を書いて1/2≦sin2θ≦1です。

1/2をとるのはθ=15°,1をとるのはθ=45°のときですね。

これで分母にsin2θがあるから、

1≦1/sin2θ≦2

になります。
逆数をとって、不等号の向きは反対になります。


まあ分母が大きいと、値は小さくなるし、分子が小さいと、値は大きくなると言う逆のことが起こるからな。


よって

2≦2/sin2θ≦4

でθ=45°のとき最小値2
θ=30°のとき最大値4をとるってわかりました。


[2]
center20012b14.jpg


4/(√2)^2+5/2^x=1
とこれば

X=1/(√2)^xとおいて二次方程式を作る

って言うのが、お決まりです。

1/2^x=(1/√2^x)^2=X^2

だから
4X+5X^2=1⇔5X^2+4X-1=0

です。


一方①よりX>[チ]と書いてますが、y=a^x(a>0)の指数関数は正やから

X>0

です。

これはもう

X=1/(√2)^xと「置いたら定義域はX>0

ってやるのがお決まりのセリフやねんな。

それでXの二次方程式を解いて

5X^2+4X-1=0

(5X-1)(X+1)=0

でX=1/5,-1って出るけど[ツ]/[テ]の形からX=1/5が入ることがわかります。


もっと、ちゃんと説明するとX>0やからX=-1の方は不適ってことやねん。

それでこれから、求めるxは

1/(√2)^x=1/5

を解けばよくて、まずは逆数をとって

√2^x=5

解答蘭が
x=[ト]log_2([ナ])
やから、2を底にしたlogをとって欲しいわけやな。

だから√2は2の1/2乗やから、

√2^x=(2^(1/2))^x
=2^(x/2)に注意して

log_2(√2^x)=log_2(5)

log_2(2^(x/2))=log_2(5)

x/2=log_2(5)

x=2log_2(5)


もう疲れてきた。
ちょっとイキってたかもしれんな。


センター試験の過去問の解説




テーマ:大学受験 - ジャンル:学校・教育

▲ページトップへ
この記事に対するトラックバック
トラックバックURL
→http://kazuschool.blog94.fc2.com/tb.php/424-c4007114
この記事にトラックバックする(FC2ブログユーザー)
▲ページトップへ
プロフィール

Author:わんこら
京都大学理学部で数学と物理を勉強し、数学を専攻しました。
東京で数学と物理の講師やってます

わんこら日記で日記とか勉強の仕方とか書いています

わんこら式数学の勉強法

メール
迷惑メールにされる危険性があるので出来るだけ
kazuyuki_ht○guitar.ocn.ne.jp
(○を@にしてください)に送ってください
勉強とかでどんな悩み持ってるかなど色々と教えてくれると嬉しいです。
わんこら式のやり方についてのメールはわんこら式診断プログラムを参考にしてください

詳しいプロフィール

人気blogランキングへ



にほんブログ村 受験ブログへ



学生広場

相互リンクも募集してます。

何かあれば
kazuschool_ht★yahoo.co.jp
かメールフォームからメールください。
(★を@にしてください)

カテゴリー

メールフォーム

名前:
メール:
件名:
本文:

FC2カウンター

リンク

このブログをリンクに追加する

お勧めの参考書、ノート

数学でお勧めのノートは
KOKUYOの無地
理由




センター試験は過去問が大切


チャートが終わったらお勧め
大学への数学1対1シリーズ
数学1


数学A


数学2


数学B


数学3


数学C

月別アーカイブ

ブログ内検索

RSSフィード

最近のトラックバック

ブロとも申請フォーム

この人とブロともになる

  1. 無料アクセス解析