受験数学わんこらスクール
京大理学部で数学をやったわんこらが中学生や高校生、受験生に数学の公式や問題を解説します。

センター試験数学2B、2001年度の第2問…微分積分の問題の解説
ちょっと味噌汁飲んでくるから、待っててくれ。


センター試験数学2B、2001年度の第2問の解説

[問題]
[1]座標平面において放物線y=x^2をCとする。第1象限の点P(a,a^2)におけるCの接線lとy軸との交点Qの座標は
(0,[ア]a^[イ])
である。lとy軸のなす角が30°となるのは
a=(√[ウ])/[エ]
のときである。このとき線分PQの長さは√[オ]であり、Qを中心とし線分PQを半径とする円と放物線Cとで囲まれてできる二つの図形のうち小さい方の面積は
π/[カ]-(√[キ])/[ク]
である。

[2]関数y=3sinθ-2(sinθ)^2(0°≦θ≦210°)の最大値と最小値を求めたい。そのためsinθ=xとおこうと,yは
y=3x-2x^3
と表される。xの動く範囲は
[ケコ]/[サ]≦x≦[シ]
であるから、yはx=1/√[ス]のとき最大値√[セ]をとり、
x=[ソタ]/[チ]のとき最小値[ツテ]/[ト]をとる。

θの関数としては、yは
θ=[ナニ]°およびθ=[ヌネノ]°のとき最大
θ=[ハヒフ]°のとき最小
である。


[解答と解説]
[1]
center20012b21.jpg

点Pにおける接線を求めてy切片を求めろってことやなこれは。

まずは微分しておいて

y'=2x

だからP(a,a^2)における接線の傾きは2aで、点P(a,a^2)を通るから接線は

y=2a(x-a)+a^2
=2ax-a^2

だからy切片のQの座標はx=0を代入してy=-a^2でQ(0,-a^2)やな。


lとy軸とのなす角が30°ってことは、直線の傾きはtan30°かってちょっと思いそうやけど、「y軸」とのなす角が30°やねん。

ちゃうねん直線の傾きのtanの角度は「x軸」とのなす角やねん。

だから90°-30°=60°
だから直線の傾きがtan60°=√3の時で、これがlの傾き2aと等しければいいから

2a=√3よりa=(√3)/2

線分PQの長さはP (a,a^2),Q(0,-a-2)やから
PQ=√((a-0)^2+(a^2-(-a^2))^2)
=√(a^2+4a^4)
=√(((√3)/2)^2+4((√3)/2)^4)
=√(3/4+9/4)
=√3

center20012b22.jpg

Qを中心とし線分PQを半径とする円と放物線Cとで囲まれてできる二つの図形のうち小さい方の面積

ってなんかようわからんけど、まずはグラフを書いてください。

まずは図を描く!

これやがな!


それで、こういうややこしい形の面積は

「パズルをして求める」

をやります。


この処理の仕方は東大の入試にさえよく使うから、しっかり覚えてくれ。

center20012b23.jpg

求めたい面積
=(中心角60の扇形)-(へっこんだ三角形)

(へっこんだ三角形)=(長方形から放物線を取り除いたやつ)-2×直角三角形

直角三角形は底辺がa=(√3)/2,高さはPとQのy座標の差は2a^2やから2a^2=3/2
直角三角形2つ分の面積は2×1/2×(√3)/2×3/2=(3√3)/4

長方形から放物線を取り除いたやつは

下側の長方形が底辺√3,高さがa^2の3/4で面積(3√3)/4
、上半分の長方形から放物線をとりのぞいた部分は
∫(-a,a)x^2dx=2∫(0,a)x^2dx
=2∫(0,(√3)/2)x^2dx
=2[x^3/3](0,(√3)/2)=(√3)/4

よって
(長方形から放物線を取り除いたやつ)=(√3)/4+(3√3)/4

(へっこんだ三角形)=(長方形から放物線を取り除いたやつ)-2×直角三角形
=(√3)/4+(3√3)/4-(3√3)/4
=(√3)/4

扇形の半径はPQ=√3やから
(中心角60の扇形)=(60/360)π√3^2
=π/2

よって

求める面積はπ/2-(√3)/4

なんか、わけわからん説明になってきてるような気がするな。


[2]
center20012b24.jpg

sinθ=xとおいてて、0°≦θ≦210°やから単位を書いておいて
-1/2≦sinθ≦1
とわかります。
だから

-1/2≦x≦1


それで三次関数y=3x-2x^3の最大値と最小値を求めろってことやから微分して
y'=3-6x^2=-6(x-1/√2)(x+1/√2)

最大値と最小値は極値か端点でしかとらないから

解答蘭の形から

x=1/√2のとき最大値√2

x=-1/2のとき最小値-5/4

ってわかってしまいます。


ほんまはグラフを描くところやけどな。

まあそれも情緒深い話ってことや。


最大になるときはx=1/√2でsinθ=1/√2になるのは0°≦θ≦210°やったから

θ=45°または135°

最小になるときはx=-1/2でsinθ=-1/2になるのはθ=210°


今日はこの辺までにしときましょか。


センター試験の過去問の解説





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