受験数学わんこらスクール
京大理学部で数学をやったわんこらが中学生や高校生、受験生に数学の公式や問題を解説します。

センター試験数学2B、2001年度の第3問…ベクトルの問題の解説
最近、手が震えてきたわ。


センター試験数学2B2001年度第3問の解説

[問題]
四面体の四つの頂点を,Q,L,M,Nとする。線分OLを2:1に内分する点をPとし、線分MNの中点をQとする。aとbを1より小さい正の実数とする。線分ONをa:(1-a)に内分する点をRとし、線分LMをb:(1-b)に内分する点をSとする、l→=OL→,m→=OM→,n→=ON→とおく。

(1)
RS→=([ア]-[イ])l→+[ウ]m→-[エ]n→
RP→=[オ]/[カ]l→-[キ]n→
RQ→=[ク]/[ケ]m→+([コ]/[サ]-[シ])n→
が成立する。

(2)以下l→=(1,0,0),m→=(0,1,0),n→=(0,0,1)の場合を考える。点Sが3点P,Q,Rの定める平面上にあるとする。このとき,RS→は実数xとyを用いて
RS→=xRP→+yRQ→
と表せる。これより
x=[ス]/[セ]・(1-b),y=[ソ]b
となり、aとbは
[タチ]+[ツ]-[テト]=0
を満たすことがわかる。さらにRP→とRQ→が垂直になるのは
a=[ナ]/[ニ],b=[ヌ]/[ネ]
のときであり、このときPQ→とRS→の内積は
PQ→・RS→=[ノハヒ]/[フヘ]
となる。



[解答と解説]
center20012b31.jpg

ベクトルの問題が出てくると、

○条件を一つずつ式にあらわす。

○始点と基本ベクトルを決める

を意識します。


この問題では始点はOで基本ベクトルはl→,m→.n→です。

線分OLを2:1に内分する点をP
より
OP→=2/3l→

線分MNの中点をQ
より
OQ→=1/2m→+1/2n→

線分ONをa:(1-a)に内分する点をR
より
OR=an→

線分LMをb:(1-b)に内分する点をS
より
OS→=(1-b)l→+bm→

これでだいたいのベクトルはすぐに表せるようになるねん。

そのさい、始点をOにそろえていきます。

XY→=OY→-OX→
というように、(後)-(前)です。

RS→=OS→-OR→=(1-b)l→+bm→-an→

RP→=OP→-OR→=2/3l→-an→

RQ→=OQ→-OR→=1/2m→+1/2n→-an→
=1/2m→+(1/2-a)n→

こうやって機械的に計算できるねん。

こいう機械的に計算できる手順を覚えてやるのがベクトル状態の道やねんな。


center20012b32.jpg

l=(1,0,0),m→=(0,1,0),n→=(0,0,1)
ここから座標計算でもええねんけど
|l→|=|m→|=|n→|=1
l→・m→=m→・n→=n→・l→=0

ってことが言いたいねん。

点Sが3点P,Q,Rの定める平面上にあるとする。このとき,RS→は実数xとyを用いて
RS→=xRP→+yRQ→
と表せる。

これは何となくふ~んって鼻ほじりながら
読んどいて下さい。

これはそういう定理やから、忘れてた人はちゃんと覚えとかなあかんとこやな。

それでここから、これを基本ベクトルであらわして、さっき調べた
RS→=(1-b)l→+bm→-an→
と二通りの表し方が出来たから係数比較をするという、ベクトルのパターン的な解法です。

RS→=xRP→+yRQ→
=x(2/3l→-an→)+y(1/2m→+1/2n→-an→)
=(2x/3)l→+(y/2)m→+(y/2-ay-ax)n→

だからRS→=(1-b)l→+bm→-an→とあわせて
(1-b)l→+bm→-an→
=(2x/3)l→+(y/2)m→+(y/2-ay-ax)n→
これでl→,m→,n→は一次独立より
1-b=2x/3
b=y/2
-a=y/2-ay-ax

1-b=2x/3からx=3(1-b)/2
b=y/2からy=2b

center20012b33.jpg

aとbの関係は-a=y/2-ay-axに代入していって

-a=2b/2-a2b-a3(1-b)/2

ab+a-2b=0

これは解答蘭
[タチ]+[ツ]-[テト]=0
にあわせるのが難しいな。

2b-ab-a=0
って書いてもたら、間違ったような気がして焦るしな。

まあそれもセンター特有の難しさってやつですわ。

RP→⊥RQ→になるには内積が0つまり
RP→・RQ→=0

(2/3l→-an→)・(1/2m→+(1/2-a)n→)=0
を計算したらええねんけど

さっき書いたように

|l→|=|m→|=|n→|=1
l→・m→=m→・n→=n→・l→=0
がポイントでl→同士の係数の積、m→同士の係数の積、n→同士の係数の積だけが残るだけで計算は簡単です。
(2/3l→-an→)・(1/2m→+(1/2-a)n→)=0
⇔-a(1/2-a)=0

よってa>0よりa=1/2です。

ab+a-2b=0からb=1/3

center20012b34.jpg

後はPQ→・RS→を求めろってことやから、それぞれのベクトルを基本ベクトルであらわして
RS→=(1-b)l→+bm→-an→
=2/3l→+1/3m→-1/2n→

PQ→=OQ→-OP→=1/2m→+1/2n→-2/3l→

よりまた
|l→|=|m→|=|n→|=1
l→・m→=m→・n→=n→・l→=0
に注意して
PQ→・RS→=(-2/3l→+1/2m→+1/2n→)・(2/3l→+1/3m→-1/2n→)
=-(2/3)^2+1/2・1/3-1/2・1/2
=-19/36

よし、よくできてるな。

ほんま凄い思いますわ。

センター試験の過去問の解説




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