受験数学わんこらスクール
京大理学部で数学をやったわんこらが中学生や高校生、受験生に数学の公式や問題を解説します。

三角関数の図形問題、京都大学2010年度理系甲乙共通の問題
さあ今日もどてらしていこか。

また意味わからんこと言いだしか。

京都大学2010年度理系甲乙共通の三角関数の問題

[問題]
kyoudaii2010ri21.jpg

xを正の実数とする。座標平面上の3点A(0,1),B(0,2),P(x,x)をとり,△APBを考える。xの値が変化するとき∠APBの最大値を求めよ。


[解答と解説]

もうこれはベクトルの内積やろ。
PA→=(-,1-x)
PB→=(-x,2-x)
やから
cosθ=PA→・PB→/|PA→||PB→|
=(2x^2-3x+2)/(√(2x^2-2x+1)√(2x^2-4x+4))

これをxで積分して…

kyoudaii2010ri22.jpg

ぐうるえ~!!

って意味わからんことになります。

もう何のキャラクターで、何を意図として、何が起こってるのかさえわかりません。


この問題は簡単な類の問題やけど、やっぱりこの辺に京大らしいやらしさがあるねんな。
京大の問題は、

余り複雑な計算にならないことが多い


だから京大の問題を解くときには

○計算が複雑になった

○頑張るんじゃなくて、やり方をかえてみる

ってところをポイントになります。


そこで京大の問題でよく使う思考の方法として

○アニメーションさせて類推する

です。

どういうことかと言うと

kyoudaii2010ri23.jpg

y=xの直線とA,Bをとって、点Pをy=x上をx>0で動かしてみます。


Oの方から動かしていくと、どうも∠BAPが直角の時に∠BAPが最大になるような気がするやろ。

たぶんそうなんやろな。


これをどう証明するかやねん。

そこでこれもまたよく京大の問題で使う論理やけど次の最大値や最小値の求め方を意識して使ってください。

kyoudaii2010ri25.jpg

○大小関係の意味としての不等式を作る
○等号成立を言えば最大値や最小値が言える

です。

例えば相加平均相乗平均って不等式の証明やのに、最小値とか出すのに使ったりしますやん。

例えば
x>0の時
x+1/x
の最小値を求めろ言われると、相加平均相乗平均から

x+1/x≧2√(x(1/x))=2

と言う不等式がなりたっていて、等号成立はx=1/x⇔x^2=1⇔x=1

だから、

x+1/xは2以上
x=1でx+1/xは2をとる

つまりx=1で最小値2をとる

って言えるねん。


この最小値や最大値の求め方を覚えてほしい。



早速この問題に使うとすると、∠APBが最小になりそうなところは

BPがy=xと垂直になるから最小になっていて√2
sin∠BAPも∠BAPが90°だから1で最大

になります。

なんかこの辺を上手く使えへんかってとこやな。

こういう難関大学の図形問題では意外と正弦定理ですんなりいってしまうことがあるねん。

だから

正弦定理も試してみる

これを意識してやってくれ。

△ABPに正弦定理を使うと

AB/sin∠APB=BP/sin∠BAP

sin∠APB=ABsin∠BAP/BP
≦1・1/√2=1/√2

これで∠APBが45°で最大とこれで言えそうですやん。

sinθが大きいほど角度θが大きいといえるのは、θが90°以下の時やから、∠APBが90°以下であることも断らないとあかんとこやな。

そしたら解答書いていきますわ。



kyoudaii2010ri24.jpg

点H(1,1)をとるとBH⊥OHより
BP≧BH=√2

またπ/4<∠BAP<πで
sin∠BAP≦sinπ/2=1

正弦定理より

AB/sin∠APB=BP/sin∠BAP

sin∠APB=ABsin∠BAP/BP
≦1・1/√2=1/√2

等号成立は「∠BAP=π/2かつP=H」⇔「P=H」

kyoudaii2010ri26.jpg

PA→・PB→=2(x-3/4)^2+7/9>0
より0<∠APB<π/2だから
∠APBの最大値は
sin∠APB=1/√2の時、つまりπ/4


最後の∠APBはπ/2より小さいは、ベクトルの内積が正と言うのが一番簡単かなって思ってやりました。
それとかPはABを直径とする円の外側にあるからπ/2未満とか答えるとカッコはええな。



最後にもう少し単純な計算でいけないかってとこやけど、もう一つ座標を導入した図形でよくやるのが

直線PAの傾きをtanθ_1
直線PBの傾きをtanθ_2

とするとニ直線のなす角θ=θ_1-θ_2

より

tanθ=tan(θ_1-θ_2)
=(tanθ_1+tanθ_2)/(1-tanθ_1tanθ_2)

を使う方法ですわ。


これも現実的に思いつきそうな自然な解答やと思う。

解答の流れ自体はさっきと同じような感じで
tan∠APBを出すと相加平均相乗平均で最大値がだせますわ。

後は解答見ておいてくれ。


なんかええ加減なおっさんやな思ってるやろ。

そうや、それでええねん。

kyoudaii2010ri27.jpg
kyoudaii2010ri28.jpg
kyoudaii2010ri29.jpg

京都大学の入試の数学の過去問の解説




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