受験数学わんこらスクール
京大理学部で数学をやったわんこらが中学生や高校生、受験生に数学の公式や問題を解説します。

積分の交点の座標が不明な問題、京都大学2010年度理系甲乙共通問題
毛が濃いと情に深いと教育してくるおかんか…

だから誰もそんな話振ってないって。


と言うことで、時間的余裕が出てきそうやから解説書いていきます。

京都大学2010年度理系乙第3問、甲第5問の共通問題



[問題]
kyoudairikou201031.jpg

aを正の実数とする。座標平面において曲線y=sinx(0≦x≦π)とx軸で囲まれた図形の面積をSとし、曲線y=sinx(0≦x≦π/2),曲線y=acosx(0≦x≦π/2)およびx軸で囲まれた図形の面積をTとする。このとき,S:T=3:1となるようなaの値を求めよ。


[解答と解説]
このような問題出てきた時によくやるのが、

S:T=3:1よりTをSで表して、

Tは曲線で囲まれ図形の面積やから、曲線の交点の座標をαとか置いて積分したらaとαであらわされるか。

でもTはSで表せるから…そういえばαもあったな…

ってやると

乳首全部切り落とされます。


その経緯はわからんけど、全部切り落とされます。


そういうことならないためには、どういう手順でやればええかと言うと

○問題文の条件を式にあらわしてく
○式を書き下す
○どの文字を消去し、どの文字を残したいのかを決める

って言うのを意識してやることやねん。

この問題は単に交点が具体的な値で表せないから文字で置くと言う典型的なパターンで特に難しいわけではないねんな。

ただ文字が多くなってくるから、ややこしくなるねん。

そこで根性で解くんじゃなくて、間違えないような処理の仕方をするのがポイントやねん。

そこのどうやって処理をしたら正確に解けるか?って言うところまで覚えて欲しいとこです。


と言うことで早速、問題文の条件を式にあらわしていきましょか。

kyoudairikou201032.jpg
y=sinx(0≦x≦π)とx軸で囲まれた図形の面積をSって言う条件から普通に
S=∫(0,π)sinxdx
を計算して
S=2

次に
S:T=3:1より
T=S/3
=2/3

本当はこっちの方が問題文の後やけど、たまにミスることもあるねん。
許したってくれ。


kyoudairikou201033.jpg

y=sinx(0≦x≦π/2),曲線y=acosx(0≦x≦π/2)およびx軸で囲まれた図形の面積をT
より、ここは交点が具体的な値で表せないからβとおきます。

何故αじゃなくて、βかと言うとaとαが見間違えるからやねん。
ここで意外と差がつくわけや。

普通はβの前にαやろって思うかもしれんけど、その拘りを捨てなあかんねん。

それとβが0<β<π/2で一つ存在するって言うのは図を書いて示してください。
ここは計算でやるんじゃなくて、図を書いて見た目で簡単に示します。
こういうとこも覚えていってください。

それで図からsinβ=acosβ(0<β<π/2)となるβが存在して

T=∫(0,β)sinxdx+∫(β,π/2)acosxdx
=-cosβ+1+a-asinβ

kyoudairikou201034.jpg

と言うことで、条件を全部式で表せたということで、今度はそれらを書き下します。

この書き下すことで一気に解きやすくなります。

解答用紙に条件が散らばってたら、見落としたり、探してるうちに何を考えてたか忘れます。

T=2/3
T=-cosβ+1+a-asinβ
sinβ=acosβ
0<β<π/2
(a>0)

a>0も書いておけば、さらにやりやすいかもしれません。

それで、何を消去して何を残すのかを決めます。


この場合、Tとβを消去してaを残します。
aを求めたいわけです。

まずβを消去していきましょう。

kyoudairikou201035.jpg

sinβ=acosβよりβをaであらわします。
と言っても三角関数なのでcosβとsinβをaであらわします。

βが存在するように消さないといけないので、0<β<π/2であることに注意してください。
存在するように消すって話は、また他の記事の同値変形やら逆手流の記事でも見てください。

kyoudairikou201036.jpg

今度は残りの式に
cosβ=1/√(1+a^2),sinβ=a/√(1+a^2)を入れていきます。

T=2/3
T=-cosβ+1+a-asinβ

からTは見たまんますぐに消せて

2/3=-1/√(1+a^2)+1+a-a^2/√(1+a^2)

後はこれを同値変形していきます。

√(1+a^2)>0を両辺にかけても同値で

a+1/3=√(1+a^2)

ここで二乗する時が注意です。

無理方程式は

「A=√B」⇔「A=BかつA≧0」

です。

だから今はa>0なのでa+1/3>0だから二乗しても同値です。

a+1/3=√(1+a^2)



(a+1/3)^2=1+a^2



2a/3+1/9=1

よりa=4/3

これで求まりました。

京都大学の入試の数学の過去問の解説




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