受験数学わんこらスクール
京大理学部で数学をやったわんこらが中学生や高校生、受験生に数学の公式や問題を解説します。

図形問題、京都大学2010年度理系乙第四問の解説
確かにそれはおかんに
「痰吐いてたら、血が出たけど大丈夫やと思うか?」
って聞かれた時の気分やな。

そしたら、京都大学2010年度理系乙第四問の解説をします。

今日は犬型ふにゅを実験的に使いたいと思います。


[問題]
kyoudai201041.jpg

1<a<2とする。3辺の長さが√3,a,bである鋭角三角形の外接円の半径が1であるとする。このときaを用いてbを表せ。


[解答と解説]
京大でもこんな簡単な問題出るもんやねんな。

さあてまずは条件を式に表していくか。

kyoudai201042.jpg

外接円の半径ときたら、正弦定理やろ。
a/sinA=b/sinB=√3/sinC=2

から
sinA=a/2
sinB=b/2
sinC=(√3)/2

それでA+B+C=180°やから、どうせsinC=sin(A+B)とか使うんやろ。
こっちはわかっとんねん。

kyoudai201043.jpg

鋭角三角形やからcosA=√(1-(a/2)^2),cosB=√(1-(b/2)^2)
よって

(√3)/2=(a/2)√(1-b^2/4)+(√(1-a^2/4))b/2

これは二乗して√を消したらよさようやな。

(a/2)√(1-b^2/4)=(√3)/2-(√(1-a^2/4))b/2

両辺2乗して

(a^4/4)(1-b^2/4)=3/4-((√3)/2)(√(1-a^2/4))b+(1-a^2/4)(b^2/4)

b-2-√(2(4-a^2))+3-a^2=0

二次方程式を解いて

b={√(3(4-a^2))±a}/2

二つ解が出てきたから、これは三角不等式を片方は満たさへんかもしれん。

と言うことは

|√3-a|<b<a+√3

に入れてみて、満たす方ってことなんかこれ?

まず
|√3-a|<{√(3(4-a^2))+a}/2<a+√3
を計算してみて



ってやってると

kyoudai201044.jpg

壁に追い詰められて、ミゾオチにハンマーで打ち込まれて血吐くことになります。



ちゃうねん、京大の過去問をやってみてこんなややこしい計算をやらされたことあるか?ってことを考えて欲しいねん。

そうやろ、あんまないやろ。

東大やったらわかるけど、京大はあんまないやろ。


もっと京大は、方針を立てたら後は華麗に簡単に解けるものが多いねん。

そこでこうやってわざと若干ずらしてくるねん。


だから一回これはおかしいと引き際を見極めて欲しいねん。

数学上手は退き上手なわけやな。

これにはまると、時間なくなって焦って他の問題もめちゃくちゃになるわけや。

どんどん、ギャンブルにはまって負けが続いて次は勝てるかもしれんって続けてしまってる状態やと思ってください。


とりあえず一回落ち着いて、条件の式を書き下してみてると

kyoudai201045.jpg

ただ単にsinB=sin(A+C)にしてたら、そっこうb=の形になるような気がします。

と言うことで

sinB=sinAcosC+cosAsinC

b/2=a/2・1/2+√(1-a^2/4)(√3)/2

b=(a+√(3(4-a^2)))/2

終わり。


京大の問題はよくこういうことあります。

恐らく京大の問題なんて何が難しいかわからない人と、難しく感じる人にわかれて、その原因がよくわからん感じやな。

そこで京大の問題はセンスがないとあかんって思うかもしれんけど、そうじゃないねん。

考え方とか解答例を真似していけばええだけやねん。

センスとかそんな曖昧な言葉を使っても意味がないねん。

京都大学の入試の数学の過去問の解説




テーマ:算数・数学の学習 - ジャンル:学校・教育

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