受験数学わんこらスクール
京大理学部で数学をやったわんこらが中学生や高校生、受験生に数学の公式や問題を解説します。

確率の極限の問題、京都大学2010年度理系乙の第6問の解説
ちょっと、パー君連れてきて。

また、いつもの病気がはじまったか。


そしたら京都大学2010年度理系乙の第6問の解説です。

[問題]
kyouto201061.jpg

n個のボールを2n個の箱へ投げ入れる。各ボールはいずれかの箱に入るものとし、どの箱に入る確率も等しいとする。どの箱にも1個以下のボールしか入っていない確率をp_nとする。
このとき、極限値
lim(n→∞)log(p_n)/n
を求めよ。


[解答と解説]
まずは確率の話からいっとこか。


例えばよくある間違いが2つの○と3つの×

○○×××××

から二つ選んだ時の組み合わせが○×になる確率は?

って言われると

○○

○×

××

の3通りやから、

1/3

とかやってたら間違いやねん。

普通に考えて1/3なわけがないしな。

答えは

2C1×5C1/7C2


何故間違えたのかと言うと、そもそも確率って言うものは求まらないねん。

実はこの問題はこれ以上分けられない事象、つまり○や×を一つとりだす事象を考えると、

根元事象の確率は全部同じで1/7C2である

って言う暗黙の了解があるから確率が求まるねん。

1/7C2が何個あるかって話しやねん。


この確率が同じって言うのを同様に確からしいとか言うねんけどな。


こうやって確率は、確率が定義されいるから求められるわけであって、よく書かれてる

(事象Aの起こる場合)/(起こりえる全ての場合の数)

と言う書き方は誤解が生じやすいねん。


だからこう考えてくれ。

kyouto2010621.jpg

『根元事象の確率が全部pの時(同様に確からしい時)、

p=1/(根元事象の総数)であり、事象Aの起こる確率は

P(A)=(事象Aに含まれる根元事象の数)×p』


このpが何個あるか数える話とか、根元事象の総数とか求める時に、場合の数の理論を使ってるってことなだけやねんな。

また確率と場合の数の違い、同様に確からしいとは…も参考にskてくれ。


それで結局どうしたらええのかって言うと、この問題なら

kyouto2010622.jpg

n個のボールや、2n個の箱に

ボール1,ボール2,ボール3,…

とか

箱1,箱2,箱3

とか名前をつけて考えたらやりやすいねん。

スライムA,スライムB,スライムC…

みたいなノリや。

それでスライムを区別するねん。


じゃあ早速求めていこか。

確率は説明文を書くと長ったらしくなるから、絵で説明するようにしたってください。

kyouto201063.jpg

ボールkが箱1~2n入れるのは2n通りです。

全体の総数は2n×2n×2n×…×2n=(2n)^n通り

まあ根元事象の確率が1/(2n)^nってとこやな。


それで各ボールをどの箱にも1個以下に入れるには、箱の方をn個選んでボール1~nに並べていけばいいから
2n_P_n通り

一個以下になる根元事象は2nPn個やな。

よって

p_n=2n_P_n/(2n)^n


これはさすがによくあるパターンでした。


それでこの

log(p_n)/n

を考えるわけやねんけど区分求積法を使うことになります。


これは経験的に数学3やってるとlogの中に順列のPとかnのn乗とか入ってると、logの足し算になるからだいたい区分求積ってことはわかってきます。


区分求積は

kyouto201064.jpg

lim(n→∞)Σ(k=i(n)~j(n))1/n×f(k/n)

と言うように

1/nとf(k/n)の形を無理やり作っていきます。


それで1/nをdxにk/nをxにして

∫(a,b)f(x)dx

としたらオッケーです。

この積分区間はk=i(n)~j(n)まで足す場合は

i(n)/n→a,j(n)/n→b(n→∞)

と言うようにnで割った極限になります。


例えばi(n)=2n+1,j(n)=3n
やったら2≦x≦3で積分やな。

またk=4~n+2まで足そうがk=3~n+543まで足そうが、どっちも積分区間0≦x≦1で同じなわけやな。

これは、高校では細かいことやらないねんけど、連続関数は有界閉区間でリーマン積分可能やから、リーマン和が分割の仕方によらずある値に収束するからやねん。


だから高校では連続で有界な閉区間でしか積分しないから細かいこと考えなくても大丈夫ってことです。

と言うことで計算していくと

kyouto201065.jpg

1/nは元々あるから、k/nを作っていけばいいわけです。


n!とn^n乗の組合わせでは

n!/nr^n=n(n-1)(n-2)…1/nnnn…n
=1/n×2/n×…×n/n

ってそれぞれバラしていって、くっつけいくパターンでだいたい上手くいくねん。


2n_P_n/(2n)^n=2n(2n-1)…(2n-n+1)/(2n)(2n)…(2n)
=1・(1-1/2n)…(1-(n-1)/2n)

って言うとこやな。

log(p_n)/n=1/n・log(1・(1-1/2n)…(1-(n-1)/2n))
=Σ(k=1~n-1)1/n・log(1-k/2n)

∫(0,1)log(1-x/2)dx

これはもう置換積分と言うほどでもないけど、一応
1-x/2=t
とおくと
-dx/2=dt

x 0 1
t 1 1/2

よって

-2∫(1,1/2)log(t)dt=-2[tlog(t)-t](1,1/2)
=log2-1


京都大学の入試の数学の過去問の解説




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