受験数学わんこらスクール
京大理学部で数学をやったわんこらが中学生や高校生、受験生に数学の公式や問題を解説します。

センター試験数学1A、2011年度の第1問…数と式、集合と論理の問題の解説
さあて、今日もどてらしていこか。

だからそれどこの方言やねん。

センター試験2011年度の1Aの第一問の解説です。


[問題]
[1]
a=3+2√2,b=2+√3とすると
1/a=[ア]-[イ]√[ウ]
1/b=[エ]-√[オ]
a/b-b/a=[カ]√[キ]-[ク]√[ケ]
である。このとき,不等式
|2abx-a^2|<b^2
を満たすxの範囲は
[コ]√[サ]-[シ]√[ス]<x<[セ]-[ソ]√[タ]
となる。
[2]
実数a,bに関する条件p,qを次のように定める。
p:(a+b)^2+(a-2b)^2<5
q:|a+b|<1または|a-2b|<2
(1)次の(0)~(3)のうち,命題「q⇒p」に対する反例になっているものは[チ]である。

(0)a=0,b=0
(1)a=1,b=0
(2)a=0,b=1
(3)a=1,b=1

(2)命題「p⇒q」の対偶は「[ツ]⇒[テ]」である。
[ツ],[テ]に当てはまるものを、次ぎの(0)~(7)のうちから一つずつ選べ。

(0)|a+b|<1かつ|a-2b|<2
(1)(a+b)^2+(a-2b)^2<5
(2)|a+b|<1または|a-2b|<2
(3)(a+b)^2+(a-2b)^2≦5
(4)|a+b|≧1かつ|a-2b|≧2
(5)(a+b)^2+(a-2b)^2>5
(6)|a+b|<1または|a-2b|≧2
(7)(a+b)^2+(a-2b)^2≧5

(3)pはqであるための[ト]

[ト]に当てはまるものを、次の(0)~(3)のうちから一つ選べ。
(0)必要十分条件である
(1)必要条件であるが、十分条件ではない
(2)十分条件であるが、必要条件ではない
(3)必要条件でも十分条件でもない


[解答と解説]

a=3+2√2,b=2+√3とすると
1/a=[ア]-[イ]√[ウ]
1/b=[エ]-√[オ]

これはどう考えても分母の有理化をしろってことやな。
センターやってると、最初はなんか有理化させられる問題が多いな。

僕と君との有理化やな。

はよ有理化せい!


1/aは分母分子に3-2√2をかけて(3+2√2)(3-2√2)=9-8=1を使って

1/a=1/(3+2√2)
=(3-2√2)/{(3+2√2)(3-2√2)}
=3-2√2

同じように
1/b=1/(2+√3)
=(2-√3)/{(2-√3)(2+√3)
=(2-√3)/(4-3)
=2-√3

次は
a/b-b/aの値か

a/b-b/a=(a^2-b^2)/(ab)^2
=(a-b)(a+b)/(ab)^2

とやっても実はa=A+√B,b=A-√Bの形がじゃないから、意味が無いと。

まあとりあえず、根性で計算した方が結果的に早いねんけどな。


ただセンターは前問がヒントになってるねん。

1/aと1/bを計算させられたから

a/b-b/a=a(2-√3)-b(3-2√2)
=(3+2√2)(2-√3)-(2+√3)(3-2√2)
=6-3√3+4√2-2√6-6+4√2-3√3+2√6
=8√2-6√3


|2abx-a^2|<b^2を満たすxの範囲は

これ場合分けが万能には万能やねんけど
|f(x)|<A(←xがない定数)
の場合にはもう
-A<f(x)<A
とやってしまった方がてっとり早いです。

だから

-b^2<2abx-a^2<b^2

a^2-b^2<2abx<b^2+a^2

2ab>0やから

(a^2-b^2)/(2ab)<x<(a^2+b^2)/(2ab)

出来るだけa,bで計算してから最後に値を入れるようにな。

その辺がセンターは計算が大変とか言うて、おじさんにちょっとこいってトイレの角に連れて行かれてミゾオチに血しぶきあげるほど膝けりかまされることになるねん。


しかもさっき
a/b-b/a
の値を求めさせられたやんな。

これ…使えへんかな?

って考えると不等式の左辺は

(a^2-b^2)/(2ab)=(a/b-b/a)/2
=(8√2-6√3)/2
=4√2-3√3

ってすぐに出ます。


これがセンターやな。

そしたら右辺の
(a^2+b^2)/(2ab)
も同じようにしたらいけるんちゃうか

(a^2+b^2)/(2ab)=(a/b+b/a)/2

これ前やったa/b-b/aの計算用紙を見ると
a/b+b/a=6-3√3+4√2-2√6+6-4√2+3√3-2√6
=12-4√6
ってすぐに出て

(a^2+b^2)/(2ab)=(12-4√2)/2
=6-2√2


そしたら次に行きますけどいいですか?

[2]
命題の問題やな。

p:(a+b)^2+(a-2b)^2<5
q:|a+b|<1または|a-2b|<2
でq⇒pの反例か。

反例って言うのは無数にあることが多いから、これは選択肢のを実際に入れて判断したらええねん。

qは満たすけど、pは満たさないものを選ばなあかんのが注意やな。

まずa=0,b=0の場合は
qは|0+0|=0<1でオッケーで
pは(0+0)^2+(0-0)^2=0<5

どっちも満たしてるから、あかんな。


a=1,b=0の場合は
qは|1+0|=1で|a+b|<1の方はあかんけど、|1-0|=1<2で|a-2b|<2の方はオッケーで
pは(1+0)^2+(1-0)^2=2<5

どっちも満たしてるから、あかんな。


a=0,b=1の場合は
qは|0+1|=1で|a+b|<1の方はあかんけど、|0-2|=2で|a-2b|<2もあかんと言う。
q自体満たさんから、反例ではないな。

a=1,b=1の場合は
qは|1+1|=2で|a+b|<1はあかんけど、|1-2|=1<1で|a-2b|<2の方はオッケーで
pは(1+1)^2+(1-2)^2=4+1=5
でこれは(a+b)^2+(a-2b)^2<5を満たさんから、これ言わゆる反例ってやつですわ。


(2)対偶は逆にして裏にする。
つまり
命題「p⇒q」の対偶は「qの否定⇒pの否定」


pの否定は(a+b)^2+(a-2b)^2<5の否定やから

p:(a+b)^2+(a-2b)^2≧5

>だけじゃなくて=を忘れないようにな。

qの否定は|a+b|<1または|a-2b|<2の否定やから

|a+b|≧1かつ|a-2b|≧2

これもまたはをかつにするの忘れないようにな。

だから
|a+b|≧1かつ|a-2b|≧2⇒(a+b)^2+(a-2b)^2≧5

まあ君らやったら大丈夫か。

もはやオレの力は必要ないようや。


(3)
pはqであるための何か?

必要条件とか十分条件は、この日本語の意味を考えるんじゃなくて

○主語に注目する
○p⇒qとq⇒pの真偽をそれぞれ調べる
○主語が⇒の根元にあれば十分、矢先にあれば必要

って機械的にやります。

090108_m2.jpg
覚え方は、⇒の左の部分に縦線を入れると十になるから十分条件で、⇒の右側が必に似てなくもないから必要条件です。

これは日本語の必要とか十分と意味が違うねん。

だから日本語の必要とか十分の意味を考えても意味がないわけやねん。


例えば大学の理学部の数学科でやるような解析で

ほとんど全て

とか出てくるけど、これは測度0の集合を除いてって意味やからな。

日本語のほとんど全てと全然違うねん。


ええからはよ解説はじめろってとこやな。

もうええわ!


まず主語やな。

pはqであるための

って書いてるから主語はp

それでp⇒qは

(a+b)^2+(a-2b)^2<5⇒|a+b|<1または|a-2b|<2

やけど、あんまようわからんねんな。

そこで前の問題をみるねん。

p⇒qの対偶を求めさせられてるやろ。

対偶と元の命題の真偽は一致するから、これは対偶を考えた方が楽ってことの可能性が高いねん。

対偶は
|a+b|≧1かつ|a-2b|≧2⇒(a+b)^2+(a-2b)^2≧5

これ当たり前やな。

オッケーやから、真


q⇒pは、これは(1)から偽のはずやな。

よって

p⇒q

やから根元の方にあるから十分

よってpはqであるための十分条件であるが必要条件ではない。

センター試験の過去問の解説




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