受験数学わんこらスクール
京大理学部で数学をやったわんこらが中学生や高校生、受験生に数学の公式や問題を解説します。

センター試験数学1A、2011年度の第2問…2次ぎ関数の問題の解説
昨日、線路に痰を吐きに行くおっさんをずっと見てたら、不思議な気持ちになりました。
センター試験2011年度1Aの第2問の解説です。

[問題]
a,b,cを定数とし,a≠0,b≠0とする。xの2次関数
y=ax^2+bx+c…①
のグラフをGとする。Gがy=-3x^2+12bxのグラフを同じ軸をもつとき
a=[アイ]/[ウ]
となる。さらに,Gが点(1,2b-1)を通るとき
c=b-[エ]/[オ]
が成り立つ。
以下,②,③のとき,2次関数①とそのグラフGを考える。

(1)Gとx軸が異なる2点で交わるようなbの値の範囲は
b<[カキ]/[ク],[ケ]/[コ]<b
である。さらに,Gとx軸の正の部分が異なる2点で交わるようなbの値の範囲は
[サ]/[シ]<b<[ス]/[セ]
である。

(2)b>0とする。
0≦x≦bにおける2次関数①の最小値が-1/4であるとき,
b=[ソ]/[タ]である。一方,x≧bにおける2次関数①の最大値が3であるとき,b=[チ]/[ツ]である。
b=[ソ]/[タ],b=[チ]/[ツ]のときの①のグラフをそれぞれG1,G2とする。G1をx軸方向に[テ],y軸方向に[ト]だけ平行移動すれば,G2と一致する。


[解答と解説]
y=ax^2+bx+cがy=-3x^2+12bxのグラフを同じ軸ってことは平方完成したx座標が同じってことやな。
y=a(x+b/(2a))^2+c-b^2/4a
でx=-b/(2a)

y=-3(x^2-4bx)
=-3(x-2b)^2+12b^2
でx=2b

だから
-b/(2a)=2b

-b=4ab

b(4a+1)=0

b≠0より4a+1=0からa=-1/4


穴埋めやからもっと適当でええねんけど、b≠0やからbで割れるって言うのは注意したってください。

それでGが(1,2b-1)を通るってことやからy=ax^2+bx+cにx=1,y=2b-1を代入して

2b-1=a+b+c

a=-1/4だから
c=2b-1-a-b
=b-1+1/4
=b-3/4


だからGは
y=-1/4x^2+bx+b-3/4
やな。

それでx軸と異なる2点で交わるから、
-1/4x^2+bx+b-3/4=0つまり
x^2-4bx-4b+3=0の判別式DとしたらD>0やな。

xの係数が2倍になってるからD/4の公式が楽と言うことで

D/4=(2b)^2-(-4b+3)
=4b^3+4b-3
=(2b-1)(2b+3)>0

よって

b<-2/3,1/2<b

解答欄の形から、どっちも分数にならなあかんから、因数分解は(2b…)(2b…)の組み合わせってすぐにわかるねんけどな。

今度は正の部分と異なる2点で交わるか。


center20111a21.jpg

これはx^2の係数が正の二次関数f(x)の場合
D>0
f(0)>0
軸>0

のパターンを繰り返して覚えておいて、今はy=-1/4x^2+bx+b-3/4と言うようにx^2の係数が負やから

D>0
x=0で負
軸>0

って応用させるねん。


D>0は計算したから、b<-2/3,1/2<b

x=0で負はb-3/4<0つまりb<3/4

軸>0は2b>0つまりb>0

これらの共通範囲をとって

1/2<b<3/4


y=ax^2+bx+cって書いてりからx^2の係数が正と勘違いする可能性はあるねんけど

b<-2/3,1/2<b
b>3/4
b>0

って出てしまったら、まあ本番なら解答欄の形を見て

1/2<b<3/4

って無理やり入れて後から見直しで気づく感じですわ。


ここで、えっなんで?なんで?って止まって頭かきまくって髪の毛抜きまくってたら、毛根に肉片がついてて消しゴムにシャーペンで穴を空けて植毛してみることになるねん。



と言うことで(2)です。

b>0とする。
0≦x≦bにおける最小値か。

これは軸x=2bと定義域の位置関係がb>0より
b<2b
やから軸が定義域の右側やねん。

center20111a22.jpg

だからさっと上に凸なグラフを書いてx=0で最小になるから、b-3/4が-1/4になればいい。

つまり
b-3/4=-1/4
から
b=1/2

ここでさっきの問題でa<0ってことを忘れてて、下に凸なのをやってしまってたら

x=bで最小値-1/4つまり-1/4b^2+b^2+b-3/4=-1/4から3b^2+4b-2=0で絶対違うことに気づくねんな。
だから、そこで止まらずにとりあえず次の問題も見ていかなあかんねん。


今度はx≧bにおける最大値が3ってことやから、これは軸x=3bがb<2bより定義域に入るため頂点で最大値やな。

center20111a23.jpg

だから
y=-1/4x^2+bx+b-3/4
=-1/4(x-2b)^2+b^2+b-3/4

でb^2+b-3/4=3より
4b^2+4b-15=0
(2b+5)(2b-3)=0

b=-2/5,3/2
b>0からb=3/2


平行移動は二次関数の場合、頂点だけ考えると計算しやすいねん。
たぶんな。

G1はb=1/2やから頂点(2b,b^2+b-3/4)に代入して(1,0)
G2はb=3/2やから頂点は同様に計算して(3,3)

x軸方向に2,y軸方向に3ってすぐにわかりますね。

センター試験の過去問の解説




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