受験数学わんこらスクール
京大理学部で数学をやったわんこらが中学生や高校生、受験生に数学の公式や問題を解説します。

センター試験数学1A、2011年度の第3問…平面幾何の問題の解説
今、ソーセージ食べ続けて三日目の気分や。

センター試験2011年度数学1Aの第三問の解説です。

[問題]
点Oを中心とする円Oの円周上に4点A,B,C,Dがこの順にある。四角形ABCDの辺の長さは、それぞれ
AB=√7,BC=2√7,CD=√3,DA=2√3
であるとする。
(1)∠ABC=θ,AC=xとおくと、△ABCに着目して
x^2=[アイ]-28cosθ
となる。また,△ACDに着目して
x^2=15+[ウエ]cosθ
となる。よって,cosθ=[オ]/[カ],x=√[キク]であり、円Oの半径は√[ケ]である。
また,四角形ABCDの面積は[コ]√[サ]である。

(2)点Aにおける円Oの接線と点Dにおける円Oの接線の交点をEとすると,∠OAE=[シス]°である。また,線分OEと辺ADの交点をFとすると,∠AFE=[セソ]°であり,
OF・OE=[タ]
である。

さらに、辺ADの延長と線分OCの延長の交点をGとする。点Eから直線OGに下ろし,直線OGとの交点をHとする。
4点E,G,[チ]は同一円周上にある。[チ]に当てはまるものを次の(0)~(4)から一つ選べ。

(0)C,F (1)H,D (2)H,F (3)H,A (4)O,A
したがって
OH・OG=[ツ]
である。

[解答と解説]
数学はまず絵を書くって意識してください。

考える前に絵を書きます。。

絵を書くことでわかってきます。

touhoku2009ri6_5.jpg

そういう意味違うわ!


center20111a31.jpg

こうやって書いてください。

センターの図形問題でよくあることですが、一つ注意して欲しいのが線分の長さが違いすぎると解法が思いつきにくいです。

しかも辺を延長させた直線の交点とかなら反対に交わったりするしな。

そこで√をだいたいの数字になおしておいて、それを参考にして書いてください。

時間は限られてるので、時間内に出来る程度の正確さです。

√2,√3,√5,√7くらいは語呂合わせでも何でもいいから覚えといてください。


それで問題に入っていくと円に内接する四角形で、∠ABC=θ,AC=xとおくとこれはもう
∠CDA=180°-θで
cos∠ABC=cosθ
cos∠CDA=cos(180°-θ)=-cosθ

で△ABCと△ACDに余弦定理使って

x^2=BC^2+AB^2-2BC・ABcosθ

x^2=CD^2+DA^2-2CD・DA(-cosθ)

でcosθまたはx^2を消去すればそれぞれ求まると言う、よくあるパターンやな。


こんなん繰り返してたら、すぐにパっと出てると思います。

まあこれくらいなら誘導ですぐわかるけど。


△ABCは
x^2=7+28-2・√7・2√7cosθ
=35-28cosθ…①

△ACDは
x^2=3+12-2・√3・2√3(-cosθ)
=15+12cosθ…②

これでxとcosθの未知数が二つで式が二つやから、消去して求められますね。

うん、求められるな。


cosθを消去しとこか。

①×3+②×7
3x^2=105-84cosθ
7x^2=105+84cosθ

10x^2=210
x=√21

①より
21=35-28cosθ
cosθ=1/2


円Oの半径と言えば…正弦定理ですね。

ACとcosθを出したからには、そらもう正弦定理やろ。
cosθ=1/2よりsinθ=(√3)/2

AC/sinθ=2R
より
R=AC/(2sinθ)
=√21/√3=√7


四角形ABCDの面積は、円に内接する四角形で∠ABC=θとおくとこれはもう
∠CDA=180°-θでsin∠ABC=sin∠CDA
で面積の話に持っていくのもよくあるねんな。

と言うことで
△ABC+△ADC=1/2AB・BCsin∠ABC+1/2AD・DCsin∠ADC
=1/2・√7・2√7・(√3)/2+1/2・2√3・√3・(√3)/2
=(7√3)/2+(3√3)/2
=5√3


(2)点Aにおける円Oの接線と点Dにおける円Oの接線の交点をEとする

center20111a32.jpg

∠OAEはそらAEは接線やから90°やな。

∠AFEはたぶん90°やな。

こんなん図を見たら89°とか入るわけないし、90°しかないやろ。

本番ならこれでもう次に進めてしまってええくらいや。

ここでさっきある程度、図を正確に書いたのが効いてくるねん。


まあちゃんと考えるなら、EOは弦ADを垂直に2等分するって基本的な定理があるねん。

△OAEと△ODEは∠OAE=90°,∠ODE=90°の直角三角形で

辺EOは共通
円の半径だからOA=OD

これで合同やからやな。


まあ本番はこんなん考えてたら負けやし、考えたらわかるとかじゃなくて、何度も過去問とか繰り返してパっと出るようにする頭の構造を作ることで絶対に満点がとれます。

次はOF・OEの値か。

こんな形を見かけるのは、相似とか方ベキの定理であらわれます。

まあ方ベキも相似やけどな。


それとセンターで常に意識しなあかんのは前の問がヒントになってるわけや。

∠OAE=90°,∠AFE=90°と言うことは…

これに注意してOFとOEを含むような相似な三角形はないか見てみると…


△OAE∽△OFAやがな!!

これやがな!

うへ~

って鉛筆バキバキに折って、机の上に乗って、トランクスをぐおお~!って食いこませて、はみちんして速やかに退場させられる感じです。


だから

OA:OE=OF:OA

OE・OF=OA^2=7


『さらに、辺ADの延長と線分OCの延長の交点をGとする。
点Eから直線OGに下ろし,直線OGとの交点をHとする。』

これやな、これも最初に長さとか正確めに書いておかないと、反対側で交わりそうやな。
center20111a33.jpg

ごちゃごちゃするから、大きく書き直してもいいです。

一回で書こうとするんじゃなくて、何度も書き直したりして整えていく感じやな。

4点E,G,[チ]は同一円周上か。

一般的に4点A,B,C,Dの同一円周上ってことは、その四点を頂点とする四角形が円に内接する条件のことで

[1]対角の和が180°
[2]1つの外角が、その向かいあう角の外角に等しい
[3]∠BAC=∠BDC(円周角になってるみたいな)

とかがありますが、[3]の円周角を使うことが多いです。


EとGで∠EHG=90°やんな。
これは∠E○G=90°になりそうな点がありそうやな。

それで常に前問がヒントになっていて、さっき∠AFE=90°とか言うてたやんな。

はい、もうこれは∠EFG=90°ないですね。


最後にOH・OGの値か。

これも相似か方ベキなんやろな。

まあ方ベキも相似やけおdな。


それで常にセンターは前問がヒントになってるから、4点E,G,F,Hが同一円周上やったやんな。

これは点Oからの、この新しい円の方ベキなんちゃうか。

center20111a34.jpg

まさに方ベキの形やな。

OH・OG=OF・OE=7


方ベキは相似は相似でも形を見抜きやすいし、非常によく出るから、使い方を覚えておいて下さい。

center20111a35.jpg

三つあって違うように見えるけど、絵を見てもらったら分かりますが実は同じです。


そしたら、もうちょっと方ベキについて詳しく書きたいとこやけど今日は初音ミクやり過ぎて腕が痛いからこの辺までにしとこか。

センター試験の過去問の解説




テーマ:大学受験 - ジャンル:学校・教育

▲ページトップへ
この記事に対するトラックバック
トラックバックURL
→http://kazuschool.blog94.fc2.com/tb.php/438-703c5535
この記事にトラックバックする(FC2ブログユーザー)
▲ページトップへ
プロフィール

わんこら

Author:わんこら
京都大学理学部で数学と物理を勉強し、数学を専攻しました。
東京で数学と物理の講師やってます

わんこら日記で日記とか勉強の仕方とか書いています

わんこら式数学の勉強法

メール
迷惑メールにされる危険性があるので出来るだけ
kazuyuki_ht○guitar.ocn.ne.jp
(○を@にしてください)に送ってください
勉強とかでどんな悩み持ってるかなど色々と教えてくれると嬉しいです。
わんこら式のやり方についてのメールはわんこら式診断プログラムを参考にしてください

詳しいプロフィール

人気blogランキングへ



にほんブログ村 受験ブログへ



学生広場

相互リンクも募集してます。

何かあれば
kazuschool_ht★yahoo.co.jp
かメールフォームからメールください。
(★を@にしてください)

カテゴリー

メールフォーム

名前:
メール:
件名:
本文:

FC2カウンター

リンク

このブログをリンクに追加する

お勧めの参考書、ノート

数学でお勧めのノートは
KOKUYOの無地
理由




センター試験は過去問が大切


チャートが終わったらお勧め
大学への数学1対1シリーズ
数学1


数学A


数学2


数学B


数学3


数学C

月別アーカイブ

ブログ内検索

RSSフィード

最近のトラックバック

ブロとも申請フォーム

この人とブロともになる

  1. 無料アクセス解析