受験数学わんこらスクール
京大理学部で数学をやったわんこらが中学生や高校生、受験生に数学の公式や問題を解説します。

センター試験数学1A、2011年度の第4問…確率の問題の解説
あかん、カメラの電池が切れた時の気分や。

そしたらセンター試験2011年度数学1Aの題4問を解説しましょか。

[問題]
1個のさいころを投げるとき、4以下の目が出る確率pは[ア]/[イ]であり,5以上の目が出る確率qは[ウ]/[エ]である。
以下では、1個のさいころを8回繰り返して投げる。

(1)8回の中で4以下の目がちょうど3回出る確率は[オカ]p^3q^5である。
第1回目に4以下の目が出て、さらに次の7回の中で4以下の目がちょうど2回出る確率は[キク]p^3q^5である。
第1回目に5以上の目が出て、さらに次の7回の中で4以下の目がちょうど3回出る確率は[ケコ]p^3q^5である。
(2)次の(0)~(7)のうち[オカ]に等しいものは[サ]と[シ]である。ただし、[サ]と[シ]は解答の順序を問わない。

(0)7C2×7C3
(1)8C1×8C2
(2)7C2+7C3
(3)8C1+8C2
(4)7C4×7C5
(5)8C6×8C7
(6)7C4+7C5
(7)8C6+8C7

(3)得点を次のように定める。

8回の中で4以下の目がちょうど3回出た場合,

n=1,2,3,4,5,6について,第n回目に初めて4以下の目が出たとき,得点はn点とする。

また,4以下の目が出た回数がちょうど3回とならないときは,得点を0点とする。

このとき,得点が6点となる確率はp^[ス]q^[セ]であり,得点が3点となる確率は[ソタ]p^[ス]q^[セ]である。また,得点の期待値は[チツテ]/[トナニ]である。


[解答と解説]
この問題は、サイコロのどの目が出る事象も同様に確からしいとする、つまりどの目も1/6の確率で出るって言う暗黙の了解があります。

4以下の目が出る確率pは1,2,3,4の4つのどれかやから

p=4/6=2/3

5以上の目が出る確率qは5.6の2つのどれかやから

q=2/6=1/3


ここで間違えたら、たぶん死ぬんやろな。


そして1個のさいころを8回繰り返して投げるわけやな。

(1)これはただの反復試行やな。

8C3p^3q^5=56p^3q^5

反復試行って
nCrp^rq^(n-r)
やけど、この意味は
○を4以下,×を5以上とすると8回中○が3回出る確率は

○○○××××××の確率がp^3q^5
○○×○×××××の確率がp^3q^5
○○××○××××の確率がp^3q^5


って確率はどの並び方もp^3q^5で、この○が3個×が5個の並び方が8C3個あるわけやな。

それで
8C3p^3q^5
やねん。

だから反復試行はもっと広く

(並べ方)×(一つの並び方の確率)

って解釈をすると、とにかくどの並び方でも確率が同じであればいいから、もっと用途が広がるわけやな。


そう思うと第1回目に4以下の目が出て、さらに次の7回の中で4以下の目がちょうど2回出る確率は

一つの並び方の確率は4以下の目が3回やからp^3q^5

並べ方は
○ (○2個×5個の並べ方)
で7C2=21

よって21p^3q^5


それで第1回目に5以上の目が出て、さらに次の7回の中で4以下の目がちょうど3回出る確率も

一つの並び方の確率は4以下の目が3回やからp^3q^5

並べ方は
× (○3個×4個の並べ方)
で7C3=35

よって35p^3q^5

と求まっていくわけです。

もう何も心配することはありません。



(2)次の(0)~(7)のうち56に等しいものか。

(0)7C2×7C3
(1)8C1×8C2
(2)7C2+7C3
(3)8C1+8C2
(4)7C4×7C5
(5)8C6×8C7
(6)7C4+7C5
(7)8C6+8C7

まあ根性で計算したらええねんけど、並び方をよ~く見ると
nCr=nCn-r
やから
(0)=(4)
(1)=(5)
(2)=(6)
(3)=(7)
やねんな。

だから4つだけ調べればええねん。

それでさっきの問題から3回4以下になる並べ方は1回目が4以下になる並べ方と1回目が5以上になる並べ方を足せばええから8C3=7C2+7C3で瞬殺出来るけど
これぐらいなら

(0)7C2×7C3=21×35
(1)8C1×8C2=8×28
(2)7C2+7C3=21+35=56
(3)8C1+8C2=8+28=36

だから(2)と(6)って考えてる暇あったら、もう計算したってくれ。

この考えてる暇あったら計算してまえ、数え上げてまえって難関大学の二次試験でも大切な数学の基本的な処理方法になるねん。


ただそこで、むやみに掛け算を計算してまわないって言うところがポイントやねん。
とりあえずは、そのままにしておいて必要性を感じたらそこで計算するねん。

計算が遅いとか、計算間違いをするって言うてる人は、実はこういうところで差がついてるねんな。


(3)8回の中で4以下の目がちょうど3回出た場合,

これは一つの並び方の確率はp^3q^5


それでn=1,2,3,4,5,6について,第n回目に初めて4以下の目が出たとき,得点はn点とする。
また,4以下の目が出た回数がちょうど3回とならないときは,得点を0点とする。

とかようわからんこと書いてますね。

これは一回具体的にどんなのか書いてみてください。


第2回目に初めて4以下の目が出たら得点は2点か。
これは
×○ (○2個×4個の並べ方)
みたいな形やな。

って言う風にな。


と言うことは並び方は6C2で確率は6C2p^3q^5ってわかってきます。


だいぶん感じがつかめましたね。

そしたら得点が6点となる確率は
×××××○(○2個の並べ方)

だから2C2=1通りで確率はp^3q^5


得点が3点となる確率は
××○ (○2個×3個の並べ方)
みたいな形で

5C2=10通り、確率は10p^3q^5

得点の期待値は

得点が1点となるのは
7C2通り

得点が2点となるのは
6C2通り


得点が3点となるのは
5C2通り


得点が4点となるのは
4C2通り

得点が5点となるのは
3C2通り

得点が6点となるのは
2C2通り



(7C2×1+6C2×2+5C2×3+4C2×4+3C2×5+2C2×6)p^3q^5
=(21+30+30+24+15+6)(2/3)^3(1/3)^5
=126×8/3^8
=112/729


もうあかんわ。

なんか今、寂しい気分や。

センター試験の過去問の解説




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