受験数学わんこらスクール
京大理学部で数学をやったわんこらが中学生や高校生、受験生に数学の公式や問題を解説します。

数学の問題の解答、解説
三角不等式を用いた証明
自然数nに対し、(10^n-1)/9=111…111(←1がn個)を【n】で表す…(東大理系)
条件:任意の有理数rに対して r=b+ 1/a_1 + 1/a_2 + … + 1/a_n を満たす整数bおよび0でない整数a_1,a_2,…,a_nが存在する。(数学オリンピック)
命題p:あるnに対して√nと√(n+1)は共に有理数である。 命題q:すべてのnに対して、√(n+1) - √nは無理数である。(京大文系)
座標空間で点(3,4,0)を通りa→=(1,1,1)に平行な直線をl 点(2,-1,0)を通りベクトルb→=(1,-2,0)に平行な直線をmとする。(京大文系)
3次関数y=x^3 - 2x^2 - x + 2のグラフ上の点(1.0)における接線をlとする…(京大文系)
正八面体のひとつに面を下にして水平な台の上に置く。(東大理系)
四面体ABCDを底面とする四角錐OABCDを考える。点Pは時刻0では頂点Oにあり、1秒ごとに次の規則に従ってこの四角錐の5つの頂点のいずれかに移動する。(京大文系)
白黒2種類のカードがたくさんある。 そのうちk枚のカードを手もとにもっているとき、次の操作(A)を考える。 (A)手持ちのk枚の中から1枚を、等確率1/kで選び出し、それを違う色のカードにとりかえる。(東大文理共通)
すべての実数で定義され何回でも微分できる関数f(x)がf(0)=0、f'(0)=1を満たし、さらに任意の実数a,bに対して1+f(a)f(b)≠0であってf(a+b)={f(a)+f(b)}/{1+f(a)f(b)}を満たしている。(京大理系乙)
Aを2次の正方行列とする。列ベクトルx0→に対し、列ベクトルx1→,x2→,…をxn+1→=Axn→ (n=0,1,2,…)によって定める。ある零ベクトルで…(京大理系乙)
座標平面の点(x,y)を(3x+y,-2x)へ移す移動fを考え、点Pが移る行き先をf(P)と表す。(東大理系)
点Oを中心とする円に内接する△ABCの3辺AB,BC,CAをそれぞれ2:3に内分する点をP,Q,Rとする。△PQRの外心が点Oと一致するとき△ABCはどのような三角形か。(京大理系乙)
△ABCにおいて、∠Aの二等分線とこの三角形の外接円との交点Aと異なる点A'とする。
同様に∠B、∠Cの二等分線とこの外接円との交点をそれぞれB'、C'とする。
このとき3直線AA',BB',CC'は1点Hで交わり、この点Hは三角形A'B'C'の垂心と一致することを示せ。(京大理系甲)

得点1~nが等しい確率で得られるゲームを3回繰り返す時、2回目の得点が1回目の得点以で、3回目の得点が2回目の得点以上となる確率を求めよ(京大理系甲)
行列A^6+2A^4+2A^3+2A^2+2A+3Eを求めよ。(京大文系、理系甲)
f(x)=e^x/(e^x+1)のグラフを描け(九大)
a1=0,an+1=xan + y^(n+1)(x,yは異なる正の実数)im(n→∞)anが収束する(x,y)を図示せよ(京大理系、甲乙共通)
長さlの線分がその両端を放物線y=x^2の上にのせて動く。この線分の中点Mがx軸にもっとも地階場合のMの座標を求めよ。(東大)(l≧1)
pを3以上の素数、4個の整数a,b,c,dがa+b+c+d=0,ad-bc+p=0,a≧b≧c≧dを満たすときa,b,c,dをpを用いてあらわせ(京大、文理甲乙共通)
∫[0,2]{(2x+1)/√(x^2+4)}dxと15段の階段を昇る昇り方(京大理系乙)
下の問題の続き(別解)
四面体ABCDの各辺はそれぞれ確率pで電気を通すものとする。頂点AからBに電流が流れる確率を求めよ。(東大)
ab+1≦abc≦ab+bc+ca+1(c<b<a、a,b,cは自然数)の時のa,b,cは?
1/(a+b-c) + 1/(b+c-a) + 1/(c+a-b) ≧9/(a+b+c)を示せ。(a,b,cの三角形の辺の長さ)
回転体を平面で切ってできた立体図形の体積(東大理系)
立体図形の問題。平地に3本のテレビ塔がある…(京大理系)
放物線y=x^2において点(0,a)を通る法線の本数(九大文系)
二次不等式の問題



高校数学の問題と解説
pdfファイル化したもの




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